Kontraposition + voll. Induk. < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \forall [/mm] M [mm] \subset \IN [/mm] : (M [mm] \not= \emptyset \Rightarrow \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : (n < m [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \not\in [/mm] M ))
Formulieren Sie die Aussage zunächst in Worten und beweisen Sie diese durch Kontraposition mithilfe von vollständiger Induktion. |
Hallo liebes Forum,
ich muss zugeben, dass ich mich dem Thema erst seit Kurzem zuwenden darf und leider oft noch Probleme damit habe, den richtigen Einstieg in die Lösung der Aufgabe zu finden.
Formuliert hätte ich die Aussage oben etwa so:
"Für alle M Teilmenge der natürlich Zahlen gilt M nichtgleich die leere Menge, das impliziert - Es gibt ein m Element von M mit allen n Element der natürlichen Zahlen für die gilt n kleiner m impliziert n nicht Element von M) --> so ungefähr. ;)
Kontraposition bedeutet ja eine Umkehrung der Aussage aber in diesem Fall mithilfe von vollständiger Induktion.
Sprich, ich muss die Aussagen umkehren mithilfe der - so wie ich es kennengelernt habe - zwei Schritte Induktionsanfang mit einer kleinsten Zahl 1 oder 0 und dem Induktionsschritt mit der Abbildung auf die Variablen.
Leider hänge ich nun genau an der Stelle, wenn es bedeutet, diese Anforderung zu formulieren.
Wäre nett, wenn mir jemand unter die Arme greifen bzw. die Augen öffnen könnte.
LG
Marvin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> [mm]\forall[/mm] M [mm]\subset \IN[/mm] : (M [mm]\not= \emptyset \Rightarrow \exists[/mm]
> m [mm]\in[/mm] M [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : (n < m [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\not\in[/mm] M
> ))
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> Formulieren Sie die Aussage zunächst in Worten und
> beweisen Sie diese durch Kontraposition mithilfe von
> vollständiger Induktion.
> Hallo liebes Forum,
>
> ich muss zugeben, dass ich mich dem Thema erst seit Kurzem
> zuwenden darf und leider oft noch Probleme damit habe, den
> richtigen Einstieg in die Lösung der Aufgabe zu finden.
>
> Formuliert hätte ich die Aussage oben etwa so:
> "Für alle M Teilmenge der natürlich Zahlen gilt M
> nichtgleich die leere Menge, das impliziert - Es gibt ein m
> Element von M mit allen n Element der natürlichen Zahlen
> für die gilt n kleiner m impliziert n nicht Element von M)
> --> so ungefähr. ;)
Oh nein.
Ich formuliere das so:
ist M eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen, so gibt es ein m [mm] \in [/mm] M mit:
ist n [mm] \in \IN [/mm] und ist n<m, so gehört n nicht zu M.
Also:
Ist M eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen,so enthält M einkleinstes Element.
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> Kontraposition bedeutet ja eine Umkehrung der Aussage
Es bedeutet die Negation !
> aber
> in diesem Fall mithilfe von vollständiger Induktion.
> Sprich, ich muss die Aussagen umkehren mithilfe der - so
> wie ich es kennengelernt habe - zwei Schritte
> Induktionsanfang mit einer kleinsten Zahl 1 oder 0 und dem
> Induktionsschritt mit der Abbildung auf die Variablen.
Was ???
Die Negation lautet so: Es gibt ein M [mm] \subset \IN [/mm] , M [mm] \ne \emptyset, [/mm] für das gilt:
(*) zu jedem m [mm] \in [/mm] M gibt es ein n [mm] \in [/mm] M mit: n<m
>
> Leider hänge ich nun genau an der Stelle, wenn es
> bedeutet, diese Anforderung zu formulieren.
> Wäre nett, wenn mir jemand unter die Arme greifen bzw. die
> Augen öffnen könnte.
Definiere A:= [mm] \IN \setminus [/mm] M.
Zeige nun mit Induktion: für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \{1,...,n\} \subseteq [/mm] A.
Folgere daraus A= [mm] \IN.
[/mm]
Dann bekommst Du den Widerspruch M = [mm] \emptyset.
[/mm]
FRED
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> LG
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> Marvin
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Marvin1979 |
Danke für die schnelle Reaktion Fred. Da lag ich ja gut daneben und werd mir deine Lösung nochmal genauer zu Gemüte führen.
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