Kontraktion beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mo 03.03.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{2x} [/mm] auf dem Intervall [mm] [1,\infty) [/mm] kontrahierend ist durch Bestimmen einer geeigneten Konstante |
So weit ich das verstanden habe ist die Kontraktion eine spezielle Lippschitz-Stetigkeit und zwar mit [mm] L=\alpha [/mm] wobei [mm] 0<\alpha<1
[/mm]
Ich habe das Supremum der ersten Ableitung als Kontraktionskonstante gewählt, also
[mm] f'(x)=\wurzel{2}/(2*\wurzel{x}) [/mm] ist auf jeden Fall kleiner 1 und zwar bei x=1 am größten also [mm] \alpha=sup(..)=\wurzel{2}/2 [/mm]
ist das eine gültige Abschätzung?... Kann mir jemand zeigen, wie das im Epsilon-Delta-System aussehen würde? Dazu haben wir leider nur einen Verweis im Skriptum zu online-Unterlagen, die nicht mehr existieren... grml.
Herzliche Grüße
Christoph
|
|
| |
|
Hi,
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{2x}[/mm] auf dem
> Intervall [mm][1,\infty)[/mm] kontrahierend ist durch Bestimmen
> einer geeigneten Konstante
> So weit ich das verstanden habe ist die Kontraktion eine
> spezielle Lippschitz-Stetigkeit und zwar mit [mm]L=\alpha[/mm] wobei
> [mm]0<\alpha<1[/mm]
>
> Ich habe das Supremum der ersten Ableitung als
> Kontraktionskonstante gewählt, also
>
> [mm]f'(x)=\wurzel{2}/(2*\wurzel{x})[/mm] ist auf jeden Fall kleiner
> 1 und zwar bei x=1 am größten also
> [mm]\alpha=sup(..)=\wurzel{2}/2[/mm]
hm. bei der ableitung komme ich auf [mm] $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}$.
[/mm]
>
> ist das eine gültige Abschätzung?... Kann mir jemand
> zeigen, wie das im Epsilon-Delta-System aussehen würde?
> Dazu haben wir leider nur einen Verweis im Skriptum zu
> online-Unterlagen, die nicht mehr existieren... grml.
wieso eps-delta kriterium? das waere zur bestimmung einer lipschitz konstanten eher unueblich. versuch es doch mal mit elementaren umformungen, wie zb.
[mm] $\sqrt{2x}-\sqrt{2x}=\frac{2x-2y}{\sqrt{2x}+\sqrt{2x}}$
[/mm]
wenn du jetzt den betrag bildest und geeignet abschaetzt, bist du fertig.
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 03.03.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Hallo Matthias!
Unsere Ableitungen sind identisch! ich habe lediglich 2x getrennt.
Wie meinst du deine Abschätzung? Die linke Seite der Gleichung ist doch 0?
In unserem Skriptum wird eigentlich nur das sup der ersten Ableitung verwendet um eine geeignete L-Konstante zu bestimmen, leider nicht die von dir gezeigte Variante. Geht es auch so wie ich es zuerst gemacht habe? :)
Grüße
|
|
|
| |
|
> Wie meinst du deine Abschätzung? Die linke Seite der
> Gleichung ist doch 0?
Hallo,
Das ist ein Tipp- bzw. Copyfehler.
Eigentlich wollte Matthias bestimmt schreiben:
$ [mm] \sqrt{2x}-\sqrt{2y}=\frac{2x-2y}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}} [/mm] $ .
Dies kannst Du abschätzen zu ... [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{2}}(x-y),
[/mm]
und das ist ja genau das, was Du auch mit dem Supremum der ersten Ableitung erreichst.
Gruß v. Angela
> In unserem Skriptum wird eigentlich nur das sup der ersten
> Ableitung verwendet um eine geeignete L-Konstante zu
> bestimmen,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Di 04.03.2008 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo zusammen,
>
> > Wie meinst du deine Abschätzung? Die linke Seite der
> > Gleichung ist doch 0?
>
> Hallo,
>
> Das ist ein Tipp- bzw. Copyfehler.
>
> Eigentlich wollte Matthias bestimmt schreiben:
>
> [mm]\sqrt{2x}-\sqrt{2y}=\frac{2x-2y}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}[/mm] .
>
das war es, was ich meinte, vielen Dank... 
> Dies kannst Du abschätzen zu ... [mm]\le \bruch{1}{\wurzel{2}}(x-y),[/mm]
>
> und das ist ja genau das, was Du auch mit dem Supremum der
> ersten Ableitung erreichst.
>
> Gruß v. Angela
>
> > In unserem Skriptum wird eigentlich nur das sup der ersten
> > Ableitung verwendet um eine geeignete L-Konstante zu
> > bestimmen,
>
>
gruss
matthias
|
|
|
|
