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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:26 Sa 23.10.2010 | | Autor: | pitta |
| Aufgabe | Sei [mm] \mu\in C([0,1]x[0,1],\IR) [/mm] und sei die Abbildung T def. durch
T: [mm] C([0,1],\IR^{n}) \to C([0,1],\IR^{n})
[/mm]
u [mm] \to \integral_{0}^{1}{\mu(.,y)u(y)dy} [/mm] .
Zeigen Sie, dass T stetig und linear ist. Ist T eine Kontraktion?
Hinweis: Benutzen Sie auf [mm] C([0,1],\IR^{n}) [/mm] die Norm
||u|| = max 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n ( [mm] ||u_{i}||_{\infty} [/mm] ) |
Hi,
ich hab da so meine Probleme mit der Aufgabe.
Linearität krieg ich noch hin, und Stetigkeit würd ja aus Lipschitz-Stet. folgen.
Also hab ich erstma versucht, zu zeigen, ob T eine Kontraktion ist:
Seien f,g [mm] \in C([0,1],\IR^{n}) [/mm] :
||T(f)-T(g)|| = max 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n [mm] ||\integral_{0}^{1}{\mu(.,y)(f-g)(y)dy} ||_{\infty}
[/mm]
[mm] \le [/mm] max 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n [mm] \integral_{0}^{1}{ || \mu(.,y)(f-g)(y)||_{\infty}dy }
[/mm]
[mm] \le [/mm] max 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n [mm] ||\mu(.,y)(f-g)(y)||_{\infty} [/mm] |1-0|
[mm] \le [/mm] max 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n [mm] ||\mu(.,y)||_{\infty} ||(f-g)(y)||_{\infty} [/mm]
weil [mm] \mu(.,y) \in \IR:
[/mm]
= [mm] ||\mu(.,y)||_{\infty} [/mm] ||(f-g)(y)||
Wenn jetzt [mm] ||\mu(.,y)||_{\infty} [/mm] < 1, dann wär T ne Kontraktion!
Ist das bis hierhin richtig?
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 25.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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