Kontinuitätsgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mo 18.04.2011 | | Autor: | H3llas |
| Aufgabe | Sei ein konstantes Geschwindigkeitsfeld [mm] \vec{u} [/mm] gegeben. Gesucht wird eine Dichteverteilung [mm] \rho:\IR*\IR^3->\IR, [/mm] die die Kontinuitätsgleichung [mm] \bruch{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \rho*\vec{u}=0 [/mm] erfüllt.
(a) Zeige, dass für jeden Punkt (t, [mm] \vec{x}) \in\IR*\IR^3 [/mm] die gesuchte Dichteverteilung [mm] \rho [/mm] konstant entlang der Gerade [mm] (t+s,\vec{x}+s*\vec{u}), s\in\IR [/mm] ist.
Hinweis: Betrachte die Funktion z(s):= [mm] \rho(t+s,\vec{x}+s*\vec{u}) [/mm] und zeige, dass z'(s)=0 gilt.
(b) Es sei [mm] g\in C^1(\IR^n) [/mm] gegeben und es gilt [mm] \rho(0,\vec{x})=g(\vec{x}). [/mm] Bestimme jetzt die Funktion [mm] \rho.
[/mm]
Hinweis: Benutzte, dass laut (a) [mm] \rho(t,\vec{x})=(0,\vec{x}-t*\vec{u}) [/mm] gilt (Hier wurde links in [mm] \rho (t+s,\vec{x}+s*\vec{u}) [/mm] s=0 und rechts s=-t eingesetzt) |
Den Aufgabenteil (a) habe ich gelöst durch Ableitung der Verkettung und gezeigt, dass es 0 ergibt, indem ich in die Kontinuitätsgleichung eingesetzt habe.
Also das Ziel bei der (b) ist es ja praktisch [mm] \rho(t,\vec{x}) [/mm] als Funktion von [mm] g(\vec{x}) [/mm] darzustellen denke ich. Ich habe jetzt schon einiges ausprobiert (in die Kontinuitätsgleichung eingesetzt z.B.) aber da ich nicht richtig weiß wie ich ansetzen muss, um dies herzuleiten.
Ich bräuchte einen Tipp wie ich hier am besten vorgehe.
MG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mo 18.04.2011 | | Autor: | gfm |
> Sei ein konstantes Geschwindigkeitsfeld [mm]\vec{u}[/mm] gegeben.
> Gesucht wird eine Dichteverteilung [mm]\rho:\IR*\IR^3->\IR,[/mm] die
> die Kontinuitätsgleichung [mm]\bruch{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \rho*\vec{u}=0[/mm]
> erfüllt.
>
> (a) Zeige, dass für jeden Punkt (t, [mm]\vec{x}) \in\IR*\IR^3[/mm]
> die gesuchte Dichteverteilung [mm]\rho[/mm] konstant entlang der
> Gerade [mm](t+s,\vec{x}+s*\vec{u}), s\in\IR[/mm] ist.
> Hinweis: Betrachte die Funktion z(s):=
> [mm]\rho(t+s,\vec{x}+s*\vec{u})[/mm] und zeige, dass z'(s)=0 gilt.
>
> (b) Es sei [mm]g\in C^1(\IR^n)[/mm] gegeben und es gilt
> [mm]\rho(0,\vec{x})=g(\vec{x}).[/mm] Bestimme jetzt die Funktion
> [mm]\rho.[/mm]
> Hinweis: Benutzte, dass laut (a)
> [mm]\rho(t,\vec{x})=(0,\vec{x}-t*\vec{u})[/mm] gilt (Hier wurde
> links in [mm]\rho (t+s,\vec{x}+s*\vec{u})[/mm] s=0 und rechts s=-t
> eingesetzt)
> Den Aufgabenteil (a) habe ich gelöst durch Ableitung der
> Verkettung und gezeigt, dass es 0 ergibt, indem ich in die
> Kontinuitätsgleichung eingesetzt habe.
>
> Also das Ziel bei der (b) ist es ja praktisch
> [mm]\rho(t,\vec{x})[/mm] als Funktion von [mm]g(\vec{x})[/mm] darzustellen
> denke ich. Ich habe jetzt schon einiges ausprobiert (in die
> Kontinuitätsgleichung eingesetzt z.B.) aber da ich nicht
> richtig weiß wie ich ansetzen muss, um dies herzuleiten.
>
> Ich bräuchte einen Tipp wie ich hier am besten vorgehe.
>
> MG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm] g(x-tu)=\rho(0,x-tu)=\rho(0+t,x-tu+tu)=\rho(t,x)
[/mm]
LG
gfm
|
|
|
| |
|
Hallo H3llas,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei ein konstantes Geschwindigkeitsfeld [mm]\vec{u}[/mm] gegeben.
> Gesucht wird eine Dichteverteilung [mm]\rho:\IR*\IR^3->\IR,[/mm] die
> die Kontinuitätsgleichung [mm]\bruch{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \rho*\vec{u}=0[/mm]
> erfüllt.
>
> (a) Zeige, dass für jeden Punkt (t, [mm]\vec{x}) \in\IR*\IR^3[/mm]
> die gesuchte Dichteverteilung [mm]\rho[/mm] konstant entlang der
> Gerade [mm](t+s,\vec{x}+s*\vec{u}), s\in\IR[/mm] ist.
> Hinweis: Betrachte die Funktion z(s):=
> [mm]\rho(t+s,\vec{x}+s*\vec{u})[/mm] und zeige, dass z'(s)=0 gilt.
>
> (b) Es sei [mm]g\in C^1(\IR^n)[/mm] gegeben und es gilt
> [mm]\rho(0,\vec{x})=g(\vec{x}).[/mm] Bestimme jetzt die Funktion
> [mm]\rho.[/mm]
> Hinweis: Benutzte, dass laut (a)
> [mm]\rho(t,\vec{x})=(0,\vec{x}-t*\vec{u})[/mm] gilt (Hier wurde
> links in [mm]\rho (t+s,\vec{x}+s*\vec{u})[/mm] s=0 und rechts s=-t
> eingesetzt)
> Den Aufgabenteil (a) habe ich gelöst durch Ableitung der
> Verkettung und gezeigt, dass es 0 ergibt, indem ich in die
> Kontinuitätsgleichung eingesetzt habe.
>
> Also das Ziel bei der (b) ist es ja praktisch
> [mm]\rho(t,\vec{x})[/mm] als Funktion von [mm]g(\vec{x})[/mm] darzustellen
> denke ich. Ich habe jetzt schon einiges ausprobiert (in die
> Kontinuitätsgleichung eingesetzt z.B.) aber da ich nicht
> richtig weiß wie ich ansetzen muss, um dies herzuleiten.
>
> Ich bräuchte einen Tipp wie ich hier am besten vorgehe.
Benutze den Hinweis.
>
> MG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 19.04.2011 | | Autor: | H3llas |
Danke euch, habe es lösen können
|
|
|
|
