Konstruktionsproblem < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Stehe vor einem ganz praktischen Konstruktionsproblem, dass meine Kenntnisse in Trigonometrie scheinbar doch übersteigt. Würde mich freuen, wenn mich da jemand unterstützen könnte. Mir reicht die Lösung anhand eines konkreten Zahlenbeispiels, dann programmiere ich mir das in Excel oder so. |
Ich möchte meiner Tochter einen Sandkasten in Form eines Bootes bauen. Da ich die verwendeten Bangkirai-Holzbohlen nicht biegen kann, möchte ich die Form des Schiffsrumpfes aus geraden Brettern annähern.
Hier mal eine stark vereinfachter Skizze der Grundfläche (linke Hälfte) des Bootes:
/
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/C
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|B
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|______
A
A, B und C sind also nun jeweils Bordwände, auf die man von oben draufsieht.
Wichtig ist mir nun, dass wie bei einem echten Boot die Seitenwände jeweils leicht nach aussen geneigt sind. Das stellt mich nun vor das Problem, dass ich nicht errechnen kann, in welchem Winkel (und bei welcher Länge) ich dann jeweils die Bretter absägen muss.
Was ich noch hinbekomme: Der Winkel der Bodenfläche zwischen A und B ist hier ja 90°. Wenn Bordwand A und B jeweils 10° nach aussen geneigt sind, muss ich das Brett A mit 90°+10°=100° absägen, damit es passt.
______________
/
Brett A /
___________/
x = 100°
Diese einfache Rechnung funktioniert aber nur, weil der Bodenflächenwinkel zwischen A und B in diesem Beispiel wie gesagt genau 90° beträgt. Wenn er aber (wie hier zwischen B und C) z.B. 150° beträgt, dann komme ich nicht weiter.
Bonusfrage: Am liebsten würde ich die Bretter auch noch auf Gehrung sägen. Wie finde ich den korrekten Gehrungswinkel heraus?
Ich hoffe, die Frage ist verständlich. Leider weiss ich nicht, wie ich soetwas als Bild hier reinstellen könnte, dann liesse sich das sicher auch einfacher erklären.
Herzlichen Dank schonmal an die Tüftler und beste Grüße!
Konstrukteur
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Stehe vor einem ganz praktischen Konstruktionsproblem, dass
> meine Kenntnisse in Trigonometrie scheinbar doch
> übersteigt. Würde mich freuen, wenn mich da jemand
> unterstützen könnte. Mir reicht die Lösung anhand eines
> konkreten Zahlenbeispiels, dann programmiere ich mir das in
> Excel oder so.
> Ich möchte meiner Tochter einen Sandkasten in Form eines
> Bootes bauen. Da ich die verwendeten Bangkirai-Holzbohlen
> nicht biegen kann, möchte ich die Form des Schiffsrumpfes
> aus geraden Brettern annähern.
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> Hier mal eine stark vereinfachter Skizze der Grundfläche
> (linke Hälfte) des Bootes:
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> /C
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> A
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> A, B und C sind also nun jeweils Bordwände, auf die man von
> oben draufsieht.
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> Wichtig ist mir nun, dass wie bei einem echten Boot die
> Seitenwände jeweils leicht nach aussen geneigt sind. Das
> stellt mich nun vor das Problem, dass ich nicht errechnen
> kann, in welchem Winkel (und bei welcher Länge) ich dann
> jeweils die Bretter absägen muss.
>
> Was ich noch hinbekomme: Der Winkel der Bodenfläche
> zwischen A und B ist hier ja 90°. Wenn Bordwand A und B
> jeweils 10° nach aussen geneigt sind, muss ich das Brett A
> mit 90°+10°=100° absägen, damit es passt.
>
> ______________
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> Brett A /
> ___________/
> x = 100°
>
> Diese einfache Rechnung funktioniert aber nur, weil der
> Bodenflächenwinkel zwischen A und B in diesem Beispiel wie
> gesagt genau 90° beträgt. Wenn er aber (wie hier zwischen B
> und C) z.B. 150° beträgt, dann komme ich nicht weiter.
>
> Bonusfrage: Am liebsten würde ich die Bretter auch noch auf
> Gehrung sägen. Wie finde ich den korrekten Gehrungswinkel
> heraus?
Verwende besser Vektorgeometrie anstelle von eigentlicher Trigonometrie.
Genauer: Bestimme zunächst nach aussen gerichtete Normalenvektoren auf die Seitenwände (A, B und C) des Bootes. Mittels Vektorprodukt zweier solcher Normalenvektoren erhältst Du den Richtungsvektor der Schnittgeraden zweier aneinanderstossender Seitenwände. Bestimme dann, mittels Skalarprodukt, den Winkel zwischen diesem Vektor und einem Richtungsvektor der Seitenwände, der zudem horizontal (parallel zum Boden des Bootes) gerichtet ist. Dies ergibt dann jeweils den von Dir mit x bezeichneten Winkel für das entsprechende Brett.
Gleicher Trick für die Gehrung: der Gehrungswinkel ergibt sich direkt aus dem Winkel zwischen den Flächenormalenvektoren aneinander stossender Seitenwände. Der Gehrungswinkel [mm] $\phi$ [/mm] zwischen B und C ist, glaube ich aufgrund eines nur hastigen Blickes auf eine kleine Skizze sagen zu dürfen, [mm] $\phi=\frac{180^\circ-\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)}{2}$. [/mm] Wobei, wie gesagt, [mm] $\vec{n}_B$ [/mm] und [mm] $\vec{n}_C$ [/mm] nach aussen gerichtete Normalenvektoren der Seitenwände $B$ bzw. $C$ sind.
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Hallo Somebody
Danke Dir erstmal für die Antwort. Klingt auf jeden Fall schonmal nach der richtigen Lösung. Ich glaube sogar, die grundsätzliche Idee verstanden zu haben. Aber Normalenvektor, Skalarprodukt... gehört habe ich das schonmal, aber was das genau ist, weiss ich (leider) nicht mehr. Meine Mathe-Erfahrung aus dem Abi ist fast 2 Jahrzehnte her. Seitdem habe ich diese Begriffe nicht mehr gehört, geschweige denn genutzt.
Könntest Du das Ganze mal an einem konkreten Beispiel vorrechnen? Dann kann ich Dir, denke ich, besser folgen und evtl. kehrt dann sogar die Erinnerung wieder zurück.
Habe mal versucht, bei Wikipedia herauszufinden, was ein Vektor (in diesem Zusammenhang) ist und wie der "funktioniert". Bin dann aber irgendwo zwischen Tensoren (?) und euklidischem Raum (?) steckengeblieben... Das Zeichen in Deiner Formal vor der Klammer auf (so ähnlich wie "<") sagt mir leider auch nichts.
Skalarprodukt hingegen habe ich bei Wiki halbwegs wiedererkannt (Multiplikation zweier Spaltenvektoren u.ä. haben wir damals gemacht).
Das nur kurz als Rückkopplung. Wäre super, wenn Du mich da noch weiter durchführen magst.
Herzlichen Dank nochmal und Gruss!
Konstrukteur
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> Hallo Somebody
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> Danke Dir erstmal für die Antwort. Klingt auf jeden Fall
> schonmal nach der richtigen Lösung. Ich glaube sogar, die
> grundsätzliche Idee verstanden zu haben. Aber
> Normalenvektor, Skalarprodukt... gehört habe ich das
> schonmal, aber was das genau ist, weiss ich (leider) nicht
> mehr. Meine Mathe-Erfahrung aus dem Abi ist fast 2
> Jahrzehnte her. Seitdem habe ich diese Begriffe nicht mehr
> gehört, geschweige denn genutzt.
>
> Könntest Du das Ganze mal an einem konkreten Beispiel
> vorrechnen? Dann kann ich Dir, denke ich, besser folgen und
> evtl. kehrt dann sogar die Erinnerung wieder zurück.
>
> Habe mal versucht, bei Wikipedia herauszufinden, was ein
> Vektor (in diesem Zusammenhang) ist und wie der
> "funktioniert". Bin dann aber irgendwo zwischen Tensoren
> (?) und euklidischem Raum (?) steckengeblieben...
In "höhere Sphären" der Theorie, wie Tensoren, brauchst Du Dich zur Lösung dieses Problems nicht zu begeben...
> Das
> Zeichen in Deiner Formal vor der Klammer auf (so ähnlich
> wie "<") sagt mir leider auch nichts.
Damit war nur der Winkel gemeint: der Winkel zwischen den beiden Vektoren [mm] $\vec{n}_B$ [/mm] und [mm] $\vec{n}_C$.
[/mm]
>
> Skalarprodukt hingegen habe ich bei Wiki halbwegs
> wiedererkannt (Multiplikation zweier Spaltenvektoren u.ä.
> haben wir damals gemacht).
>
> Das nur kurz als Rückkopplung. Wäre super, wenn Du mich da
> noch weiter durchführen magst.
Also zunächst mal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich gehe davon aus, dass [mm] $\alpha$ [/mm] (z.B. [mm] $\alpha=150^\circ$) [/mm] der Winkel ist, der durch das Bodenbrett für die beiden aneinanderstossenden Seitenwände (hier B und C) vorgegeben ist.
Diese Skizze zeigt die Situation von Oben (mit Blick auf das Bodenbrett). Die z-Achse zeigt aus dem Bild heraus auf den Betrachter. Wären die Seitenwände nicht noch zusätzlich um den Winkel [mm] $\beta$ [/mm] (z.B. [mm] $\beta=10^\circ$) [/mm] gegen die Vertikale geneigt, so wären die beiden eingezeichneten Normalenvektoren gleich
[mm]\vec{n}_B=\pmat{0\\-1\\0} \qquad \text{ bzw.}\qquad \vec{n}_C=\pmat{\cos(\alpha+90^\circ)\\ \sin(\alpha+90^\circ)\\0}=\pmat{-\sin(\alpha)\\\cos(\alpha)\\0}[/mm]
Wegen der zusätzlichen Neigung der Seitenwände um [mm] $\beta$ [/mm] gegenüber der Vertikalen verkompliziert sich dies zu
[mm]\vec{n}_B=\pmat{0\\-\cos(\beta)\\-\sin(\beta)} \qquad \text{ bzw. } \qquad \vec{n}_C=\pmat{-\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)\\\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\\-\sin(\beta)}[/mm]
Diese Vektoren [mm] $\vec{n}_B$ [/mm] und [mm] $\vec{n}_C$ [/mm] sind sogar normiert, d.h. deren Länge [mm] $|\vec{n}_B|$ [/mm] bzw. [mm] $|\vec{n}_C|$ [/mm] ist 1, weshalb sich die Berechnung ihres Zwischenwinkels folgendermassen vereinfacht
[mm]\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)=\cos^{-1}\frac{\vec{n}_B\cdot\vec{n}_C}{|\vec{n}_B|\cdot|\vec{n}_C|}=\cos^{-1}\big(\sin(\beta)^2-\cos(\alpha)\cdot \cos^2(\beta)\big)[/mm]
Wenn meine Formel [mm] $\frac{180^\circ-\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)}{2}$ [/mm] für den Gehrungswinkel der Bretter $B$ und $C$ an ihrer gemeinsamen Kante richtig sein sollte, würde dies für [mm] $\alpha=150^\circ$ [/mm] und [mm] $\beta=10^\circ$ [/mm] einen Gehrungswinkel von [mm] $\approx 31^\circ$ [/mm] ergeben.
Korrektur (1. Revision): Weil mein CAS Winkelfunktionen nur in Radiant anbietet, hatte ich einen Fehler bei der Eingabe dieser Formel gemacht (der Wert [mm] $31^\circ$ [/mm] ist auch klar unplausibel). Nun erhalte ich [mm] $\approx 75.2^\circ$.
[/mm]
Natürlich benötigst Du einen anderen Gehrungswinkel für die Kante zwischen den Seitenwänden und dem Bodenbrett (siehe weiter unten). Der nach aussen (= ausserhalb des Bootsinneren) zeigende (normierte) Normalenvektor auf das Bodenbrett ist einfach
[mm]\vec{n}_{\text{Boden}}=\pmat{0\\0\\-1}[/mm]
Der Vektor [mm] $\vec{s}_{BC}$, [/mm] der in die Richtung der gemeinsamen Kannte der Seitenwände $B$ und $C$ zeigt, ist ("Vektorprodukt")
[mm]\vec{s}_{BC} := \vec{n}_C\times \vec{n}_B=\pmat{-\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)\\\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\\-\sin(\beta)}\times \pmat{0\\-\cos(\beta)\\-\sin(\beta)}=\pmat{-\frac{1}{2}\cdot\left(1+\cos(\alpha)\right)\cdot \sin(2\beta)\\-\frac{1}{2}\cdot \sin(\alpha)\cdot \sin(2\beta)\\\sin(\alpha)\cdot\cos^2(\beta)}[/mm]
(sofern ich richtig gerechnet habe, was nicht absolut sicher ist..)
Nun kann man den Winkel, den Du mit $x$ bezeichnet hattest, als den Winkel bestimmen, der von diesem Vektor [mm] $\vec{s}_{BC}$ [/mm] und einem geeigneten, sowohl zum Bodenbrett als auch zur betreffenden Seitenwand parallelen Vektor gebildet wird. Für die Seitenwand $B$ ist
[mm]\vec{b} := \pmat{1\\0\\0}[/mm]
ein solcher (ebenfalls normierter) Vektor. Der fragliche Winkel beim an das Brett $C$ anstossenden Brett $B$ ist somit
[mm]\cos^{-1}\frac{\vec{s}_{BC}\cdot \vec{b}}{|\vec{s}_{BC}|\cdot |\vec{b}|}=\cos^{-1}\frac{-\frac{1}{2}\left(1+\cos(\alpha)\right)\cdot\sin(2\beta)}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\cos(\alpha)\right)\cdot \sin^2(2\beta)+\sin^2(\alpha)\cdot\cos^4(\beta)}}[/mm]
Für [mm] $\alpha=150^\circ$ [/mm] und [mm] $\beta=10^\circ$ [/mm] erhalte ich daraus einen Winkel von [mm] $\approx 92.63^\circ$.
[/mm]
Hmm, scheint mir etwas gar nahe bei [mm] $90^\circ$. [/mm] Vielleicht habe ich, wegen der umfangreichen symbolischen Umformungen, etwa beim Vektorprodukt oder bei der Berechnung der Länge von [mm] $\vec{s}_{BC}$, [/mm] einen dümmlichen Fehler verbrochen. - Aber im Prinzip lässt sich Dein Problem so lösen...
Nachtrag: Wegen
[mm]\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_{\text{Boden}})=\cos^{-1}\frac{\vec{n}_B\cdot\vec{n}_{\text{Boden}}}{|\vec{n}_B|\cdot |\vec{n}_{\text{Boden}}|}=\cos^{-1}\sin(\beta)=90^\circ -\beta[/mm]
ergibt sich zwischen Brett $B$ und dem Bodenbrett ein Gehrungswinkel von
[mm]\frac{180^\circ -(90^\circ-\beta)}{2}=\frac{90^\circ+\beta}{2}[/mm]
für [mm] $\beta=10^\circ$ [/mm] wäre dies somit ein Winkel von [mm] $50^\circ$.
[/mm]
P.S: Alle Angaben ohne Gewähr.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Somebody!
Whow... meinen Respekt (ob nun dafür, dass Du es schaffst, diese Aufgabe mal eben in 20min runterzurechnen und hier reinzustellen oder dafür, dass Du den Sportsgeist hast, dafür noch mehr Zeit zu investieren, kannst Du Dir selbst aussuchen).
Da werde ich jedenfalls erstmal eine Weile dran kauen  . Ungefähr das erste Drittel kann ich auf Anhieb nachvollziehen, dann wird's etwas tricky. Aber ich denke, wenn ich mich da 1-2 Stunden drin vertiefe (wird wohl erst am Wochenende gehen) und mal konkret rechne, dann könnte das hinhauen. Spart mir dann einiges an Arbeit bzw. manueller Anpasserei.
Ich kann ja in ein paar Wochen mal ein Bild des fertigen Bau-Ergebnisses hier reinstellen. Da sieht man dann, das Mathematik auch ganz praktisch hilfreich ist.
![[]](/images/popup.gif) Ganz herzlichen Dank Dir nochmal (hoffe, der war noch nicht bekannt)
Beste Grüße
Konstrukteur
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Hallo,
so, bin nun endlich mal dazu gekommen, mich mit dem Thema genauer zu beschäftigen. Habe einige Stunden damit verbracht, Deine Formeln nachzuvollziehen und mir das in Excel zu programmieren. Leider kommt dabei nur Mist heraus.
Den Schritt von da:
[mm]\vec{n}_B=\pmat{0\\-\cos(\beta)\\-\sin(\beta)} \qquad \text{ bzw. } \qquad \vec{n}_C=\pmat{-\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)\\\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\\-\sin(\beta)}[/mm]
nach da
[mm]\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)=\cos^{-1}\frac{\vec{n}_B\cdot\vec{n}_C}{|\vec{n}_B|\cdot|\vec{n}_C|}=\cos^{-1}\big(\sin(\beta)^2-\cos(\alpha)\cdot \cos^2(\beta)\big)[/mm]
bekomme ich leider nicht hin. Und sowohl wenn ich in Handarbeit das obere rechne, als auch, wenn ich die untere Formel nehme, bekomme ich als Ergebniss jeweils: 1,000115
Was mir auch nicht ganz klar ist: Gibt es einen Unterschied zwischen [mm] sin^2(b) [/mm] und [mm] sin(b)^2 [/mm] ?
Zur Kontrolle mal meine Zwischenergebnisse: [mm] sin(b)^2 [/mm] = 0,0302 cos(a) = -0,8660 [mm] cos^2(b) [/mm] = 0,9698
danach rechne ich: cos ((0,0302) - (-0,8660) * (0,9698))^-1 und dann kommt eben obiges heraus. Ich habe allerdings den Verdacht, dass ich da irgendwo einen Fehler bei den Klammern habe. Oder kann es sein, dass es eigentlich cos ((0,0302) * -((-0,8660) * (0,9698)))^-1 heissen müsste?
Komme da leider nicht weiter...
Beste Grüße,
Konstrukteur
(der inzwischen schon in die praktische Phase eingetreten und voller Sägestaub ist... Und da komme ich leider ohne obiges auch nicht sinnvoll weiter. Würde mich wirklich sehr über kurzfristige Hilfe freuen!)
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> Hallo,
>
> so, bin nun endlich mal dazu gekommen, mich mit dem Thema
> genauer zu beschäftigen. Habe einige Stunden damit
> verbracht, Deine Formeln nachzuvollziehen und mir das in
> Excel zu programmieren. Leider kommt dabei nur Mist
> heraus.
>
> Den Schritt von da:
>
> [mm]\vec{n}_B=\pmat{0\\-\cos(\beta)\\-\sin(\beta)} \qquad \text{ bzw. } \qquad \vec{n}_C=\pmat{-\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)\\\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\\-\sin(\beta)}[/mm]
>
> nach da
>
> [mm]\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)=\cos^{-1}\frac{\vec{n}_B\cdot\vec{n}_C}{|\vec{n}_B|\cdot|\vec{n}_C|}=\cos^{-1}\big(\sin(\beta)^2-\cos(\alpha)\cdot \cos^2(\beta)\big)[/mm]
>
> bekomme ich leider nicht hin.
Also es ist jedenfalls [mm] $|\vec{n}_B|=1$, [/mm] denn
[mm]|\vec{n}_B|=\sqrt{0^2+(-\cos(\beta))^2+(-\sin(\beta))^2}=\sqrt{\cos^2(\beta)+\sin^2(\beta)}=1[/mm]
und [mm] $|\vec{n}_C|=1$, [/mm] denn
[mm]|\vec{n}_C|=\sqrt{(-\sin(\alpha)\sin(\beta))^2+(\cos(\alpha)\cos(\beta))^2+(-\sin(\beta))^2}=\sqrt{\sin^2(\alpha)\red{\cos^2(\beta)}+\cos^2(\alpha)\red{\cos^2(\beta)}+\sin^2(\beta)}=\sqrt{\cos^2(\beta)+\sin^2(\beta)}=1[/mm]
Das Skalarprodukt [mm] $\vec{n}_B\cdot \vec{n}_C$ [/mm] ist dann (Summe der Produkte entsprechender Koordinaten):
[mm]\vec{n}_B\cdot\vec{n}_C=\pmat{0\\-\cos(\beta)\\-\sin(\beta)}\cdot\pmat{-\sin(\alpha)\cos(\beta)\\\cos(\alpha)\cos(\beta)\\-\sin(\beta)}=0+(-\cos(\beta))\cdot\cos(\alpha)\cos(\beta)+(-\sin(\beta)\cdot(-\sin(\beta))=\sin^2(\beta)-\cos(\alpha)\cos^2(\beta)[/mm]
Ich erhalte also, für den Term [mm] $\frac{\vec{n}_B\cdot\vec{n}_C}{|\vec{n}_B|\; |\vec{n}_C|}$ [/mm] noch immer denselben Wert [mm] $\sin^2(\beta)-\cos(\alpha)\cos^2(\beta)$.
[/mm]
> Und sowohl wenn ich in
> Handarbeit das obere rechne, als auch, wenn ich die untere
> Formel nehme, bekomme ich als Ergebnis jeweils: 1,000115
Wenn Du konkrete Werte für [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] einsetzt: aber welche hast Du eingesetzt? Es wäre nützlich, dies hier hinzuschreiben.
>
> Was mir auch nicht ganz klar ist: Gibt es einen Unterschied
> zwischen [mm]sin^2(b)[/mm] und [mm]sin(b)^2[/mm] ?
Nein, ich scheine lediglich unter dem (schlechten) Einfluss eines CAS, durch das ich das Skalarprodukt habe überprüfen lassen, die Schreibweise [mm] $\sin(\beta)^2$ [/mm] anstelle von [mm] $\sin^2(\beta)$ [/mm] verwendet zu haben. Gemeint ist also exakt dasselbe: zuerst [mm] $\sin(\beta)$ [/mm] berechen und dann quadrieren.
>
> Zur Kontrolle mal meine Zwischenergebnisse:
Bitte gib zuallererst die konkreten Werte von [mm] $\beta$ [/mm] und [mm] $\alpha$ [/mm] an, die Du eingesetzt hast.
> [mm]sin(b)^2[/mm] =
> 0,0302 cos(a) = -0,8660 [mm]cos^2(b)[/mm] = 0,9698
Es scheint, dass Du [mm] $\alpha=150^\circ$ [/mm] und [mm] $\beta=10^\circ$ [/mm] verwendet hast.
> danach rechne ich: cos ((0,0302) - (-0,8660) * (0,9698))^-1
> und dann kommt eben obiges heraus. Ich habe allerdings den
> Verdacht, dass ich da irgendwo einen Fehler bei den
> Klammern habe. Oder kann es sein, dass es eigentlich cos
> ((0,0302) * -((-0,8660) * (0,9698)))^-1 heissen müsste?
>
> Komme da leider nicht weiter...
Das Problem ist schon klar: Du hast effektiv den Wert von [mm] $\cos [/mm] ((0,0302) - (-0,8660) * (0,9698))$ hoch $-1$ gerechnet. Aber [mm] $\cos^{-1}(x)$ [/mm] ist leider nicht das selbe wie [mm] $\big(\cos(x)\big)^{-1}$. [/mm] Diese Schreibweise [mm] $f^{-1}$ [/mm] für die Inverse einer Funktion $f$ (hier ist [mm] $f=\cos$), [/mm] ist aber nicht auf meinem Mist gewachsen. Bitte schau genau auf Deinem Taschenrechner: es muss eine Taste haben, die mit [mm] $\cos^{-1}$ [/mm] oder mit [mm] $\mathrm{acos}$ [/mm] oder [mm] $\mathrm{arccos}$ [/mm] angeschrieben ist. Diese Funktion ist mit [mm] $\cos^{-1}$ [/mm] in meiner Formel für das Skalarprodukt gemeint.
Ich erhalte, bei Verwendung der richtigen Inversen von [mm] $\cos$, [/mm] den Winkel [mm] $\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)\approx 29.5^\circ$
[/mm]
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Hallo,
> > [mm]sin(b)^2[/mm] = 0,0302 cos(a) = -0,8660 [mm]cos^2(b)[/mm] = 0,9698
> Es scheint, dass Du [mm]\alpha=150^\circ[/mm] und [mm]\beta=10^\circ[/mm] verwendet hast.
So ist es.
> Das Problem ist schon klar: Du hast effektiv den Wert von
> [mm]\cos ((0,0302) - (-0,8660) * (0,9698))[/mm] hoch [mm]-1[/mm] gerechnet.
> Aber [mm]\cos^{-1}(x)[/mm] ist leider nicht das selbe wie
> [mm]\big(\cos(x)\big)^{-1}[/mm]. Diese Schreibweise [mm]f^{-1}[/mm] für die
> Inverse einer Funktion [mm]f[/mm] (hier ist [mm]f=\cos[/mm]), ist aber nicht
> auf meinem Mist gewachsen.
Ups, sorry... Arcccos... moment. Yep, gerade umgeschrieben und siehe da, auch ich komme nun in Excel auf 29,5! Soweit so gut. Erster Plausibilitätstest mit verschiedenen Kombinationen aus Wandneigung und Bodenwinkel auf 0°, 90° oder 180° führt auch zu sinnvollem Ergebnissen.
Zweiter Plausibilitätstest aber leider nicht. Wenn ich Wandneigung 10° und Bodenwinkel 90° wähle, kommt bei mir 88,27° heraus. (Mit zwei Stück Karton auf dem Tisch ausprobiert merkt man gleich, dass kann nicht sein. Ich stelle die mit sich berührender Kante im 90°-Winkel zueinander auf den Tisch und kippe sie nun beide um 10° nach aussen.)
Da müsste irgendwas kurz unter 100° (bzw. über 80°, je nachdem von welcher Seite man misst) herauskommen. Das Ergebniss von al-Chwarizmi mit 99,85° scheint in etwa plausibel. Ein weiterer Konstruktionstest mit 150° Bodenwinkel und 10° Neigung führt zu einem Ergebniss, welches irgendwo bei ca. 93° liegen muss. Das bringe ich mit unseren 29,5° oben nicht ganz zusammen?! Wo habe ich jetzt noch den Fehler drin?
Herzlichen Dank und beste Grüße!
Konstrukteur
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> Hallo,
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> > > [mm]sin(b)^2[/mm] = 0,0302 cos(a) = -0,8660
> [mm]cos^2(b)[/mm] = 0,9698
> > Es scheint, dass Du [mm]\alpha=150^\circ[/mm] und [mm]\beta=10^\circ[/mm]
> verwendet hast.
> So ist es.
>
> > Das Problem ist schon klar: Du hast effektiv den Wert von
> > [mm]\cos ((0,0302) - (-0,8660) * (0,9698))[/mm] hoch [mm]-1[/mm] gerechnet.
> > Aber [mm]\cos^{-1}(x)[/mm] ist leider nicht das selbe wie
> > [mm]\big(\cos(x)\big)^{-1}[/mm]. Diese Schreibweise [mm]f^{-1}[/mm] für die
> > Inverse einer Funktion [mm]f[/mm] (hier ist [mm]f=\cos[/mm]), ist aber nicht
> > auf meinem Mist gewachsen.
> Ups, sorry... Arcccos... moment. Yep, gerade umgeschrieben
> und siehe da, auch ich komme nun in Excel auf 29,5! Soweit
> so gut. Erster Plausibilitätstest mit verschiedenen
> Kombinationen aus Wandneigung und Bodenwinkel auf 0°, 90°
> oder 180° führt auch zu sinnvollem Ergebnissen.
>
> Zweiter Plausibilitätstest aber leider nicht. Wenn ich
> Wandneigung 10° und Bodenwinkel 90° wähle, kommt bei mir
> 88,27° heraus.
Richtig, dies ist, gemäss der von mir vorgeschlagenen Formel, der Winkel [mm] $\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)$ [/mm] zwischen den nach aussen gerichteten Normalenvektoren auf die beiden benachbarten Seitenflächen, für diese Wahl [mm] $\beta=10^\circ$ [/mm] und [mm] $\alpha=90^\circ$.
[/mm]
> (Mit zwei Stück Karton auf dem Tisch
> ausprobiert merkt man gleich, dass kann nicht sein. Ich
> stelle die mit sich berührender Kante im 90°-Winkel
> zueinander auf den Tisch und kippe sie nun beide um 10°
> nach aussen.)
>
> Da müsste irgendwas kurz unter 100° (bzw. über 80°, je
> nachdem von welcher Seite man misst) herauskommen.
Weshalb bist Du da so sicher? Es ist durchaus plausibel, dass ein Winkel kleiner als [mm] $90^\circ$ [/mm] herauskommt: wähle zum Beispiel die Wandneigung [mm] $\beta=90^\circ$ [/mm] (bei irgendeinem Bodenwinkel, meinetwegen [mm] $\alpha=90^\circ$): [/mm] dann sind die beiden Normalenvektoren beide senkrecht zur $xy$-Ebene nach unten gerichtet, also parallel, schliessen also den Winkel [mm] $0^\circ$ [/mm] miteinander ein.
> Das
> Ergebniss von al-Chwarizmi mit 99,85° scheint in etwa
> plausibel.
Ich muss zugeben, dass ich nicht in der Lage bin, dies von blossem Auge zu beurteilen. Aber obige Überlegung mit dem Extremfall [mm] $\beta=90^\circ$ [/mm] erweckt bei mir den bestimmten Eindruck, dass der Winkel [mm] $\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)$ [/mm] kleiner als [mm] $\alpha$ [/mm] werden sollte - nicht grösser. Meine Handwerkliche Geschicklichkeit lässt allerdings sehr zu wünschen übrig. So dass mir der empirische Test nicht recht gelingen will.
Nachtrag (1. Revision): Der Winkel [mm] $\eta [/mm] := [mm] \angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)$ [/mm] ist natürlich noch nicht der Gehrungswinkel [mm] $\delta$, [/mm] aber es sollte, sofern ich den Begriff des Gehrungswinkels richtig interpretiere, [mm] $\delta =\frac{180^\circ-\eta}{2}$ [/mm] gelten. Siehe Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> > (Mit zwei Stück Karton auf dem Tisch
> > ausprobiert merkt man gleich, dass kann nicht sein. Ich
> > stelle die mit sich berührender Kante im 90°-Winkel
> > zueinander auf den Tisch und kippe sie nun beide um 10°
> > nach aussen.)
> > Da müsste irgendwas kurz unter 100° (bzw. über 80°, je
> > nachdem von welcher Seite man misst) herauskommen.
> Weshalb bist Du da so sicher? Es ist durchaus plausibel,
> dass ein Winkel kleiner als [mm]90^\circ[/mm] herauskommt:
Hmm, da ich nicht ganz sicher bin, ob wir dasselbe Bild vor Augen haben, habe ich jetzt auch mal eine Skizze gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
das Grüne und das Gelbe sind die Bordwände, diese stehen im Winkel [mm] \alpha=150° [/mm] zueinander auf dem Boden und sind beide jeweils um 10° nach aussen geneigt, der Winkel [mm] \beta [/mm] ist also gleich 100°. (Da fällt mir schon die erste Dialektik auf: Ist in Deiner Formel oben mit [mm] \beta [/mm] nun die 10° gemeint, oder die 90+10=100°?)
Gesucht ist von mir nun der Winkel [mm] \gamma. [/mm] Wäre [mm] \alpha=90°, [/mm] dann wäre [mm] \gamma=\beta. [/mm] Bis hierhin einverstanden?
> Meine Handwerkliche Geschicklichkeit lässt allerdings sehr zu wünschen übrig. So dass mir der empirische Test nicht recht gelingen will.
Bei mir half folgender sehr einfacher Versuch:
1) Bei zwei quadratischen 10*10cm Notizzetteln jeweils eine Seite unter 3° abschneiden (Winkel also dann 90°/90°/93°/87°)
2) Auf einem A4-Blatt einen 150° Winkel (unser [mm] \alpha] [/mm] mit der Spitze von Dir wegzeigend einzeichnen.
3) Die beiden Zettel mit der kurzen Seite nach unten und den Schnittkanten zueinander gerichtet auf das A4-Blatt jeweils auf einen Schenkel des 150°-Winkels stellen (etwas Abstand dazwischen).
4) Jetzt beide Zettel um ca. 10° (unser [mm] \beta) [/mm] nach aussen (von Dir weg) neigen und langsam zusammen schieben.
Das passt nun ziemlich genau, will heissen: Die beiden Schnittkanten berühren sich auf voller Länge. Man kann ruhig etwas ungenau arbeiten, wenn man es vor sich hat, merkt man, dass es nicht genau drauf ankommt. Was wir nun eigentlich oben ausrechnen wollten, war ja der 93°-Winkel unten in der Ecke, wo sich die Blätter berühren. Wir kommen da auf 29,5°. Du kannst ja auch spasseshalber mal die Zettel unter 29.5° abschneiden und dann schauen, wie extrem weit man die neigen muss, bis sich die Fuge wieder schliesst (ups, Befehl zurück, hab's gerade ausprobiert -> das geht gar nicht, selbst wenn sie beide auf dem Boden liegen!)
> Ich muss zugeben, dass ich nicht in der Lage bin, dies von blossem Auge zu beurteilen.
Naja, ganz exakt ist das sicher nicht, aber wir liegen nach meinem Verständniss der Formeln da oben so extrem weit von der Empirie entfernt, dass es da nicht mal besonderes Augemasses bedarf. Ansonsten noch folgendes reines Gedankenexperiment:
Nehmen wir an, Grün und Gelb stehen mit [mm] \alpha=90° [/mm] zueinander. Jetzt neige Gelb (und nur Gelb) um 10° nach aussen [mm] (\beta=100). [/mm] Dann ist [mm] \gamma=100°. [/mm] Nun neige Grün um 90° bis auf den Boden runter, dann ist [mm] \gamma [/mm] nur noch 90°, korrekt? Jetzt führe diesen Schritt im Geiste mal ganz langsam aus (also neige Grün vor Deinem inneren Auge ganz langsam nach aussen) und überlege, wie sich der Winkel [mm] \gamma [/mm] dabei verhält. Auf den ersten paar Grad Neigung tut sich da bei [mm] \gamma [/mm] nämlich praktisch gar nichts.
Zum Thema Gehrungswinkel: Der Teil ist mir klar, danke dafür!
Wo ist nun oben der Denkfehler? Oder haben wir uns irgendwo missverstanden und Dein Ergebnisswinkel ist gar nicht mein Winkel [mm] \gamma?
[/mm]
Grübel...
Beste Grüße,
Konstrukteur
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
>
>
> > > (Mit zwei Stück Karton auf dem Tisch
> > > ausprobiert merkt man gleich, dass kann nicht sein. Ich
> > > stelle die mit sich berührender Kante im 90°-Winkel
> > > zueinander auf den Tisch und kippe sie nun beide um 10°
> > > nach aussen.)
> > > Da müsste irgendwas kurz unter 100° (bzw. über 80°, je
> > > nachdem von welcher Seite man misst) herauskommen.
> > Weshalb bist Du da so sicher? Es ist durchaus plausibel,
> > dass ein Winkel kleiner als [mm]90^\circ[/mm] herauskommt:
> Hmm, da ich nicht ganz sicher bin, ob wir dasselbe Bild vor
> Augen haben, habe ich jetzt auch mal eine Skizze gemacht:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> das Grüne und das Gelbe sind die Bordwände, diese stehen im
> Winkel [mm]\alpha=150°[/mm] zueinander auf dem Boden und sind beide
> jeweils um 10° nach aussen geneigt, der Winkel [mm]\beta[/mm] ist
> also gleich 100°. (Da fällt mir schon die erste Dialektik
> auf: Ist in Deiner Formel oben mit [mm]\beta[/mm] nun die 10°
> gemeint, oder die 90+10=100°?)
Dein in der obigen Skizze mit [mm] $\beta$ [/mm] bezeichneter Winkel ist entschieden nicht der Winkel [mm] $\beta$, [/mm] den ich in meiner früheren Antwort eingeführt hatte (mein [mm] $\beta$ [/mm] wäre also nur [mm] $10^\circ$, [/mm] dies hatte ich auch schon wiederholt geschrieben). Denn für mich ist [mm] $\beta$ [/mm] der Winkel, um den die Seitenwände gegenüber der Vertikalen nauch aussen geneigt sind. Andernfalls wären meine Vektoren [mm] $\vec{n}_B$ [/mm] und [mm] $\vec{n}_C$ [/mm] falsch. Ich gehe in diesem Forum in der Regel davon aus, dass Leser meiner Beiträge in der Lage sind, die Überlegungen mit ausreichender Sicherheit nachvollziehen zu können bzw. gegebenenfalls meine Fehler frühzeitig aufzuzeigen. Eine solchermassen krass unterschiedliche Interpretation von [mm] $\beta$ [/mm] ist nur möglich, wenn Du gar nicht versuchst, meine Überlegung ausreichend sorgfältig zu prüfen.
> Gesucht ist von mir nun der Winkel [mm]\gamma.[/mm]
Der Winkel [mm] $\delta [/mm] = [mm] \frac{180^\circ-\angle(\vec{n}_B,\vec{n}_C)}{2}$ [/mm] ist nur der Gehrungswinkel. Dein Winkel [mm] $\gamma$ [/mm] ist nun der Winkel zwischen dem schräg nach oben gerichteten Richtungsvektor [mm] $\vec{s}_{BC}:= \vec{n}_C\times \vec{n}_B$ [/mm] der gemeinsamen Kante der Seitenwände $B$ und $C$ und einem Vektor [mm] $\vec{b}$, [/mm] der parallel zum Boden in Richtung der Wand $B$ zeigt. Für Deinen Winkel [mm] $\gamma$ [/mm] hatte ich gegen Ende meines früheren Beitrags die Formel
[mm]\gamma = \cos^{-1}\frac{\vec{s}_{BC}\cdot \vec{b}}{|\vec{s}_{BC}|\cdot |\vec{b}|}=\cos^{-1}\frac{-\frac{1}{2}\left(1+\cos(\alpha)\right)\cdot\sin(2\beta)}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\cos(\alpha)\right)\cdot \sin^2(2\beta)+\sin^2(\alpha)\cdot\cos^4(\beta)}} [/mm]
angegeben. Diese Berechnung von [mm] $\gamma$ [/mm] wird relativ kompliziert, weil der Vektor [mm] $\vec{s}_{BC}$ [/mm] nicht mehr normiert ist.
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Hallo Somebody,
> Eine solchermassen krass unterschiedliche Interpretation von
> [mm]\beta[/mm] ist nur möglich, wenn Du gar nicht versuchst, meine
> Überlegung ausreichend sorgfältig zu prüfen.
Ho, langsam... bitte ziehe in Betracht, dass noch eine andere Möglichkeit besteht: Das jemand so erheblich weniger Kenntnisse von der Materie hat, dass es einfach sehr schwer für ihn ist, Dir zu folgen!
Ich habe am So. de fakto ca. 4 Stunden mit Deiner Antwort zugebracht und konzentriert darüber gebrütet! Nur so als Hinweis: ich musste Dinge wie "wie multipliziert man zwei Vektoren"? oder "Was ist der Betrag eines Vektors?" erst bei Wikipedia nachschlagen. Ich habe dunkel in Erinnerung das "Der Vektor ist normiert" bedeutet, dass er die Länge 1 hat, ich habe aber keine Ahnung, was das mathematisch für Konsequenzen hat bzw. wofür das hier wichtig ist. Usw... Hast Du eine Vorstellung, wie anspruchsvoll unter dieser Vorraussetzung dann das hier ist?
In der Schule gab's solche Themen bestenfalls am Rande und das ist knapp 20 Jahre her! (Hand aufs Herz: Wieviel von den auswendig gelernten Geschichtsdaten wann die Römer die Germanen irgendwo geschlagen haben, weisst Du noch? Ist das auch 20 Jahre her?) Sorry, aber das trifft mich echt, nachdem meine Frau mich am So. schon für verrückt erklärt hat, weil ich stundenlang so verbissen mit Taschenrechner, Excel, Geodreieck und geschnittenen Pappstückchen am Schreibtisch sass (statt mit unserer Tochter zu spielen)...
Unabhängig davon: Wie Du an der Tatsache, dass ich in Excel zum selben Ergebniss komme, ablesen kannst, hatte ich den Winkel (in der Berechnung, nicht in meiner Skizze oben) auch genauso interpretiert, wie Du. Nur war mir beim Erstellen der Skizze aufgefallen, dass man das möglicherweise auch anders definieren könnte. Und ich wollte nur sichergehen, dass wir da nicht aneinander vorbeireden (denn _irgendwo_ haben wir das ja offensichtlich getan).
Zurück zur Sache:
Was ich immer noch nicht verstanden habe, ist, was das mit ca. 29,5° errechnete [mm] \gamma [/mm] (bei [mm] \alpha=150°, \beta=10°) [/mm] dann ist? Die Vektoren Nb und Nc sind doch beide parallel zum Boden, oder (entnehme ich zumindest dem Vektor [mm] nb=\pmat{ 0 \\ -1 \\ 0})? [/mm] Dann müsste bei [mm] \alpha=150° [/mm] deren Zwischenwinkel aber doch einfach 180°-150°=30° sein, unabhängig von [mm] \beta, [/mm] oder? Das ist aber zu einfach und daher wohl offensichtlich falsch?!
Würden Nb und Nc senkrecht auf die Bordwände stehen, müsste deren "Zwischenwinkel" irgendwie kleiner werden bei nach aussen geneigter Bordwand. Das passt zu den 29,5° aber nicht zu Deiner Erklärung unter der Skizze...
Ich glaub, ich seh' den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr?!
> Für Deinen Winkel [mm]\gamma[/mm] hatte ich die Formel angegeben:
> [mm]\gamma = \cos^{-1}\frac{\vec{s}_{BC}\cdot \vec{b}}{|\vec{s}_{BC}|\cdot |\vec{b}|}=\cos^{-1}\frac{-\frac{1}{2}\left(1+\cos(\alpha)\right)\cdot\sin(2\beta)}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\cos(\alpha)\right)\cdot \sin^2(2\beta)+\sin^2(\alpha)\cdot\cos^4(\beta)}}[/mm]
Du hattest etwas darüber geschrieben:
> Natürlich benötigst Du einen anderen Gehrungswinkel für die Kante
> zwischen den Seitenwänden und dem Bodenbrett...
Ich hatte das alles dann für die Herleitung eben dieses Gehrungswinkels gehalten. Den brauche ich allerdings nicht, da mein Sandkastenboot keinen Boden bekommt (wasserdurchlässiges Sperrfliess rein und fertig). Heute abend zuhause werde ich mir diese Formel nochmal genauer vornehmen. Bin jetzt im Büro, da habe ich keine Möglichkeit um das in Ruhe zu machen.
Um Sicher zu gehen: Mit [mm] \alpha=90° [/mm] und [mm] \beta=10° [/mm] (nicht 100) müsste bei der Formel also tatsächlich irgendwas um die 99° herauskommen? Da bin ich ja mal gespannt.
Entschuldige bitte, wenn der Eindruck entstanden sein sollte, ich wäre lernunwillig oder faul. Im Gegenteil betrachte ich das Ganze als ernsthafte Herausforderung. Wie Du ja gesehen hast (Stichwort cos^-1 bzw. Arccos), verstehe ich z.T. nichteinmal die "Sprache", die Du verwendest, insofern wirklich schwer für mich. Hab' bitte noch ein bischen Geduld mit mir, es ist mit Sicherheit nicht verschwendet!
Besten Dank und freundliche Grüße!
Konstrukteur
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Hallo Konstrukteur !
Ich habe mir das Problem mit den Winkeln der Seitenbretter
nochmals überlegt, und zwar in etwas verallgemeinerter Form.
Die verschiedenen Seitenwände sollen ja nicht unbedingt
gleich stark geneigt sein (ich stelle mir ein solches Boot
ästhetisch und was die Fahreigenschaften betrifft nicht
gerade ideal vor ...). Ein richtiges Ruderboot ist ja mögli-
cherweise dein nächstes Projekt. 
Wie in deiner Zeichnung bezeichne ich den Winkel am
Bootsboden mit [mm] \alpha. [/mm] Die beiden Neigungswinkel der
Seitenbretter, von der Vertikalen aus gemessen (wie bei
Somebody) nenne ich [mm] \beta_1 [/mm] und [mm] \beta_2. [/mm] Die Eckwinkel
der beiden Seitenbretter seien [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2.
[/mm]
Ich möchte hier nur die Ergebnisse bekanntgeben, die ich
erhalten habe:
Ich bezeichne noch:
[mm]\ s=sin(\alpha)[/mm] [mm]\ c=cos(\alpha)[/mm]
[mm]\ t_1=tan(\beta_1)[/mm] [mm]\ t_2=tan(\beta_2)[/mm]
[mm]\ w=\wurzel{(t_1*c+t_2)^2+(t_1*s)^2+s^2}[/mm]
Dann gilt:
[mm]\gamma_1=arccos \left(-\ \bruch{t_1*c+t_2}{w}\right)[/mm]
[mm]\gamma_2=arccos \left(-\ \bruch{t_2*c+t_1}{w}\right)[/mm]
Ich habe die Formeln an Zahlenbeispielen mit [mm] \beta_1=\beta_2=\beta [/mm] mit
den früheren Rechnungen (von Somebody und mir) verglichen.
Sie liefern dieselben Ergebnisse.
Gruß al-Chwarizmi
P.S. : Ich habe die Formeln in eine TK umgesetzt, welche
ich als Anhang beifüge. Zunächst war ich über einige
Resultate erstaunt, da ich für [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] in der Regel
stumpfe Winkel erwartete... wie arg es doch oft mit dem
Anschauungsvermögen hapert !
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
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Anhang Nr. 2 (Typ: cwk) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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Hallo al-Chwarizmi,
oh Mann, das sieht aber super aus! Komme gerade erst aus dem Büro nach Hause, daher komme ich jetzt nicht mehr dazu, mir das in Ruhe anzusehen (geschweige denn, zu versuchen, es zu verstehen ), aber zumindest wirft die Excel-Tabelle soweit ich sehe plausible Ergebnisse heraus (das mit den spitzen Winkeln ist wirklich auf den ersten Blick überraschend aber mit 2 Kärtchen dann auch schnell nachvollzogen).
Ich schaue mal, ob ich (über-)morgen Zeit finde und das nachvollziehen und mit Somebodys Formel oben abgleichen kann. Am Wochenende kann ich es dann hoffentlich in die Tat umsetzen. Melde mich auf jeden Fall nochmal!
Beste Grüße und gute Nacht!
Konstrukteur
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Hallo al-Chwarizmi!
So, habe nun erste Versuche gestartet. Für 2 gleich geneigte Bordwände ist alles i.O., da komme ich gut klar (auch hinsichtlich Gehrungswinkel).
Dann jedoch habe ich mich von Deinem Kommentar:
> Die verschiedenen Seitenwände sollen ja nicht unbedingt gleich stark
> geneigt sein (ich stelle mir ein solches Boot ästhetisch und was die
> Fahreigenschaften betrifft nicht gerade ideal vor ...).
..verleiten lassen und prompt meinen Bauplan geändert. Nach vorne hin soll das Boot nun "spitzer" - also mit stärker geneigten Aussenwänden - werden.
Die gute Nachricht: Auch hier funktioniert Deine Formel perfekt. Ich habe bewusst erstmal ohne Formelergebniss einen Test aus MDF-Brettern solange angepasst, bis er "dicht" war. Für 155° Bodenwinkel und Bordwandneigung 10° und 20° kam ich auf [mm] \gamma1=115° [/mm] und [mm] \gamma2=72° [/mm] (lt. Berechnung dann: 115,5° und 71°). Super!
Womit ich aber Probleme habe, sind die Gehrungswinkel. Im konkreten Beispiel sind die empirischen Werte: [mm] \delta1=18° [/mm] und [mm] \delta2=10°. [/mm] Wobei z.B. auch [mm] \delta1=16° [/mm] und [mm] \delta2=12° [/mm] gehen, beides scheint "dicht" - nur die Summe [mm] \delta1+ \delta2 [/mm] muss ca. 28° sein (und die Abweichung von o.g. Verteilung nicht zu gross). Im Gegensatz zu [mm] \gamma, [/mm] wo bereits geringste Änderungen deutlich falsch aussehen, ist das bei [mm] \delta [/mm] konstruktionsbedingt nicht so. Wie bekomme ich das jetzt also ebenfalls mathematisch hin? Ich habe noch eine Weile über die Vektoren und welchen Winkel ich da eigentlich zu bestimmen versuche gegrübelt, aber Ihr habt mich mit der Vektorrechnung inzwischen doch leider "abgehängt".
Vielenvielen Dank schonmal vom
Konstrukteur und seiner Tochter!
PS: Wenn "wir" fertig sind, werde ich meine Skizze nochmal entsprechend Deiner Formeln anpassen, in Deine Excel-Tabelle mit einfügen und das Ganze "in schön" zusammengefasst hier reinstellen. Dann hat die Nachwelt auch noch etwas davon.
So, jetzt geht's wieder an die Praxis, will über's Wochenende noch was schaffen (und einstweilen spare ich mir die von o.g. Problem betroffenen Winkel noch auf in der Hoffnung auf eine Lösung auch zu diesem Teilproblem.)
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Hallo Konstrukteur !
ich habe mir die Berechnung der Gehrungswinkel jetzt
auch noch überlegt und in die Tabelle eingebaut.
Zuerst bin ich von der Definition von Somebody (in seiner
allerersten Antwort) für einen Gehrungswinkel [mm] \phi [/mm] ausge-
gangen. Meine Suche im Netz nach einer Definition des
Gehrungswinkels war allerdings fruchtlos. In Wikipedia
war zwar sogar ein Bild dazu zu finden, nur dummer-
weise gerade für den Fall zweier senkrecht aneinander
stossender Bretter mit Gehrungswinkel 45°. Welches genau
der "Gehrungswinkel" sein soll, ist genau in diesem Fall
ja nicht klar. Dann fand ich ein paar dürftige, aber wider-
sprüchliche Angaben...
Ich habe gemerkt, dass deine [mm] \delta [/mm] - Winkel nicht dem
entsprechen was Somebody mit [mm] \phi [/mm] bezeichnet hat.
Es ist wohl [mm] \delta [/mm] = [mm] 90°-\phi, [/mm] was ich dann auch noch
in die Tabelle gesetzt habe.
Beispiel: Wenn ich einen Bilderrahmen für ein Bild
in der Form eines regelmässigen 6-Ecks aus 6 identischen
Stücken machen will, dann ist für alle Gehrungswinkel
jeweils [mm] \phi=60° [/mm] bzw. [mm] \delta [/mm] = 30°. Habe ich das richtig
verstanden?
Ich habe angenommen, dass jeweils an den beiden
aneinanderstossenden Brettern gleich grosse Gehrungs-
winkel sein sollen.
So, nun hoffe ich, bei meinen Überlegungen keinen
Fehler gemacht zu haben und grüsse dich freundlich !
Al-Chwarizmi
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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Hallo Al-Chwarizmi!
> ich habe mir die Berechnung der Gehrungswinkel jetzt auch noch überlegt und
> in die Tabelle eingebaut.
Danke Danke Danke!
> [was genau ist der Gehrungswinkel] [...] Habe ich das richtig verstanden?
Ich denke schon.
> Ich habe gemerkt, dass deine [mm]\delta[/mm] - Winkel nicht dem entsprechen
> was Somebody mit [mm]\phi[/mm] bezeichnet hat. Es ist wohl
> [mm]\delta[/mm] = [mm]90°-\phi,[/mm] was ich dann auch noch
> in die Tabelle gesetzt habe.
Ja, das liegt daran, dass ich unterbewusst und automatisch immer passend für eine Säge umrechne. Da kann man an den Skalen ja jeweils nur zwischen 0° und 45° einstellen (ansonsten gilt: Werkstück umdrehen). Das hat mich bei dieser Rechenaktion hier auch schon einige Male verwirrt...
> Ich habe angenommen, dass jeweils an den beiden aneinanderstossenden
> Brettern gleich grosse Gehrungswinkel sein sollen.
Das war genau der Punkt, über den ich gestolpert bin. In meinem empirischen Versuch war genau das nämlich nicht so eindeutig zu erkennen. Mir war klar, dass das für gleiche Winkel [mm] \beta1 [/mm] = [mm] \beta2 [/mm] gilt, aber im anderen Fall?!... Habe es nun mal getestet für mein Beispiel mit [mm] \alpha=155°, \beta1=10°, \beta2=20°. [/mm] Mit dem Ergebnis [mm] \phi=77° [/mm] (bzw. [mm] \delta=13°, [/mm] denn das muss ich an der Säge einstellen) ist das Ganze auch "dicht". Scheint also richtig zu sein.
Wenn ich es jetzt so real in 3D vor mir habe, ist es auch wiederum logisch, dass der Gehrungswinkel bei beiden Werkstücken auch bei unterschiedlichem Neigungswinkel der gleiche sein muss. Zwar gibt es beliebig viele Kombinationsmöglichkeiten, bei denen die beiden Stirnflächen flach voreinander stehen würden. Aber die Stirnfläche selbst wäre bei dem Holzstück mit dem grösseren [mm] \delta [/mm] breiter als bei dem anderen. D.h., da würde eine Kante überstehen. Bei flachen Winkeln [mm] \alpha [/mm] fällt das kaum auf (s. mein Fall aus der vorherigen Frage), aber bei kleineren [mm] \alpha [/mm] würde man das wohl sehr schnell sehen.
Ergo: Sieht richtig aus und wurde von mir heute schon einige mal eingesetzt. Wie versprochen habe ich mich dann jetzt noch hingesetzt und das Ganze als finale Lösung "in schön" für die Nachwelt aufbereitet:
[Dateianhang nicht öffentlich] Hier geht's zur Winkelberechnung.xls
Herzlichen Dank nochmal und freundliche Grüße
vom Konstrukteur
Schlagwörter: Winkelberechnung, Winkelproblem, Vektorrechnung, Gehrung, Gehrungswinkel, Gehrungsschnitt, Gehrungsschnitte, Gehrungsberechnung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Konstrukteur,
danke für die schöne Darstellung !
Wenn alle Bretter die gleiche Stärke haben, sollen die
Gehrungswinkel der beiden längs einer Kante zusammen-
stossenden Bretter jeweils gleich gross sein, um über-
stehende Kanten zu vermeiden (die Fläche, in welcher
die zwei Bretter z.B. zusammengeleimt werden,
liegt in der winkelhalbierenden Ebene). Kleine zusätzliche
Komplikation: wie ist es, wenn die beiden Bretter nicht
gleich dick sind ?
Das ist eine nette Aufgabe zur ebenen Trigonometrie !
| Aufgabe | Zwei Bretter der Stärken (oder Breiten) a und b werden
unter einem Winkel [mm] \varphi [/mm] "auf Gehrung" verleimt. Unter welchen
Schnitt- bzw. "Gehrungswinkeln" [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] müssen die Bretter
abgesägt werden, damit die Schnittflächen genau aufeinander
passen ? |
Damit man ausprobieren kann, was damit genau gemeint ist,
habe ich ein Geogebra-Blatt kreiert:
Datei-Anhang
Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: html) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: webarchive) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Di 24.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Stehe vor einem ganz praktischen Konstruktionsproblem, dass
> meine Kenntnisse in Trigonometrie scheinbar doch
> übersteigt. Würde mich freuen, wenn mich da jemand
> unterstützen könnte. Mir reicht die Lösung anhand eines
> konkreten Zahlenbeispiels, dann programmiere ich mir das in
> Excel oder so.
> Ich möchte meiner Tochter einen Sandkasten in Form eines
> Bootes bauen. Da ich die verwendeten Bangkirai-Holzbohlen
> nicht biegen kann, möchte ich die Form des Schiffsrumpfes
> aus geraden Brettern annähern.
>
> A, B und C sind also nun jeweils Bordwände, auf die man von
> oben draufsieht.
>
> Wichtig ist mir nun, dass wie bei einem echten Boot die
> Seitenwände jeweils leicht nach aussen geneigt sind. Das
> stellt mich nun vor das Problem, dass ich nicht errechnen
> kann, in welchem Winkel (und bei welcher Länge) ich dann
> jeweils die Bretter absägen muss.
>
> Was ich noch hinbekomme: Der Winkel der Bodenfläche
> zwischen A und B ist hier ja 90°. Wenn Bordwand A und B
> jeweils 10° nach aussen geneigt sind, muss ich das Brett A
> mit 90°+10°=100° absägen, damit es passt.
>
> ______________
> /
> Brett A /
> ___________/
> x = 100°
>
> Diese einfache Rechnung funktioniert aber nur, weil der
> Bodenflächenwinkel zwischen A und B in diesem Beispiel wie
> gesagt genau 90° beträgt.
Ich denke, dass es auch in diesem einfachen Fall nicht
exakt stimmt. Wenn die Wände A und B gegenüber der
Vertikalen um [mm] 10^{o} [/mm] nach aussen geneigt sind, dann
haben die Bretter A und B in der unteren Ecke nicht
genau einen [mm] 100^{o}- [/mm] Winkel, sondern einen von
[mm] 99.85^{o} [/mm] . Dies ist eine praktisch für das Sandkasten-
Boot wohl vernachlässigbare Abweichung; an den
Ecken zu den flacher liegenden Wänden C wird sie aber
deutlich grösser.
Du hast aber jedenfalls bei Somebody schon tatkräftige
Hilfe gefunden !
> Wenn er aber (wie hier zwischen B
> und C) z.B. 150° beträgt, dann komme ich nicht weiter.
>
> Bonusfrage: Am liebsten würde ich die Bretter auch noch auf
> Gehrung sägen. Wie finde ich den korrekten Gehrungswinkel
> heraus?
>
> Ich hoffe, die Frage ist verständlich. Leider weiss ich
> nicht, wie ich soetwas als Bild hier reinstellen könnte,
> dann liesse sich das sicher auch einfacher erklären.
>
> Herzlichen Dank schonmal an die Tüftler und beste Grüße!
> Konstrukteur
>
Danke jedenfalls einmal für die "mitten aus dem
praktischen Leben" gegriffene Aufgabe !
Viel Erfolg beim Schiffsbau ! al-Chwarizmi
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Hallo,
> Ich denke, dass es auch in diesem einfachen Fall nicht
> exakt stimmt. Wenn die Wände A und B gegenüber der
> Vertikalen um [mm]10^{o}[/mm] nach aussen geneigt sind, dann
> haben die Bretter A und B in der unteren Ecke nicht
> genau einen [mm]100^{o}-[/mm] Winkel, sondern einen von
> [mm]99.85^{o}[/mm] .
Stimmt, logisch! Am Extrem wirds deutlich: angenommen, die Neigung nach aussen wäre 90°, dann wäre der Winkel 90°+45°=135° (und nicht 90°+90°=180°).
Aber wie bist Du denn jetzt auf Dein Ergebnis mit 99,85° gekommen?
> Dies ist eine praktisch für das Sandkasten-Boot wohl vernachlässigbare Abweichung; an den
> Ecken zu den flacher liegenden Wänden C wird sie aber deutlich grösser.
Eben...
> Viel Erfolg beim Schiffsbau ! al-Chwarizmi
Dies Wochenende ärgert mich das Wetter etwas. Muss bei jedem Schauer sämtliche Geräte/Werkzeuge jeweils abbauen und reinräumen. Wann erfindet jemand wasserfeste Oberfräsen und Kreissägen?
Beste Grüße,
Konstrukteur
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Entschuldigt bitte, dass ich in der ersten Version dieses
Artikels nochmals andere Bezeichnungen als in der
bisherigen Diskussion benützt habe. Ich ändere sie
deshalb folgendermassen: [mm] \alpha [/mm] ist hier 90° (Eck-Winkel
des Bodenbretts); [mm] \beta [/mm] ist der von der Vertikalen aus
gemessene Neigungswinkel der Seitenwände (im ersten
Beispiel [mm] \beta=10°) [/mm] und [mm] \gamma [/mm] der Eckwinkel der beiden
Seitenbretter.
> Hallo,
>
> > Ich denke, dass es auch in diesem einfachen Fall nicht
> > exakt stimmt. Wenn die Wände A und B gegenüber der
> > Vertikalen um [mm]10^{o}[/mm] nach aussen geneigt sind, dann
> > haben die Bretter A und B in der unteren Ecke nicht
> > genau einen [mm]100^{o}-[/mm] Winkel, sondern einen von
> > [mm]99.85^{o}[/mm] .
> Stimmt, logisch! Am Extrem wirds deutlich: angenommen, die
> Neigung nach aussen wäre 90°, dann wäre der Winkel
> 90°+45°=135° (und nicht 90°+90°=180°).
>
> Aber wie bist Du denn jetzt auf Dein Ergebnis mit 99,85°
> gekommen?
Vektorgeometrie ! Ich lege ein Koordinatensystem so,
dass x-Achse und y-Achse auf die beiden am Boden liegenden
Kanten fallen. Dann betrachte ich die schräg aufsteigende
Kante. Wenn der Neigungswinkel (von der Vertikalen
aus gemessen) [mm] \beta [/mm] ist, so ist
[mm] \vec{k}=\vektor{-sin(\beta)\\-sin(\beta)\\cos(\beta)}
[/mm]
ein möglicher Richtungsvektor für diese Kante.
Der gesuchte Winkel [mm] \gamma [/mm] ist dann der zwischen [mm] \vec{k}
[/mm]
und dem Einheitsvektor [mm] \vec{e_x}=\vektor{1\\0\\0} [/mm] .
Es gilt: [mm] cos(\gamma)=\bruch{\vec{k}*\vec{e_x}}{|\vec{k}|*|\vec{e_x}|}=\bruch{-sin(\beta)}{\wurzel{sin(\beta)^2+1}}
[/mm]
Mit [mm] \beta [/mm] = 10° führt dies auf [mm] cos(\gamma)=-0.1711 [/mm] bzw. [mm] \gamma=99.85°
[/mm]
Ich habe jetzt die Formel auch noch an deinem Extrembeispiel
getestet. Für [mm] \beta=90° [/mm] ergibt sich wirklich [mm] \gamma=135°. [/mm]
Al-Chw.
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