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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mo 27.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Wir definieren C:={ [mm] (a_n)_n \subset \IQ: (a_n)_n [/mm] ist Cauchyfolge } und eine Relation auf C durch
[mm] (a_n)_n \sim(b_n)_n :\gdw (a_n [/mm] - [mm] b_n)_n [/mm] ist Nullfolge.
a) Man zeige, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf C ist.
b) Man zeige, dass die Äquivalenzrelation aus a) mit der Addition und Multiplikation auf C verträglich sind, d.h.: aus [mm] (a_n)_n \sim (c_{n})_n [/mm] und [mm] (b_n)_n \sim (d_{n})_n [/mm] folgt
[mm] (a_n +b_n)_n \sim (c_{n} [/mm] + [mm] d_{n})_n, [/mm]
[mm] (a_n *b_n)_n \sim (c_{n} [/mm] * [mm] d_{n})_n.
[/mm]
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Hallo!
Zu a) weiß ich, dass ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen muss. Leider ist mir noch nicht klar, was ich z.B. beim nachprüfen der Reflexivität (aRa) für a einsetzen kann. Vielleicht kann mir da jemand weiter helfen.
Zu b) ist mir die Aufgabenstellung unklar, so dass ich noch nicht einmal weiß, wass ich überhaupt zeigen soll.
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mo 27.11.2006 | | Autor: | g_hub |
Also erstens:
Für die Reflexivität sollst du eine Cauchy-Folge [mm] (a_n)_n\in [/mm] C nehmen, und einfach bemerken, dass gilt
[mm] a_n \sim a_n \gdw (a_n-a_n)_n [/mm] = [mm] (0)_n [/mm] ist eine Nullfolge
Dies ist offensichtlich korrekt.
Wenn dir hierbei ein Licht aufgeht, sollte der Rest auch nicht schwer sein.
Zweitens:
Wenn man einfach die Definition einsetzt liest sich die Aufgabe so:
Seien [mm] (a_n-c_n)_n [/mm] und [mm] (b_n-d_n)_n [/mm] Nullfolgen, man zeige, dass dann auch [mm] (a_n+b_n-c_n-d_n)_n [/mm] und [mm] (a_nb_n-c_nd_n)_n [/mm] Nullfolgen sind...
alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Do 30.11.2006 | | Autor: | xsara |
Lieber g_hub,
vielen Dank für deine Hilfe.
Zu a)
Nachrechnen ist bis auf die Transitivität kein Problem. Aber wie kann ich zeigen, dass aus [mm] (a_n [/mm] - [mm] b_n)_n [/mm] ist Nullfolge [mm] \wedge (b_n [/mm] - [mm] c_n)_n [/mm] ist Nullfolge auch [mm] (a_n [/mm] - [mm] c_n) [/mm] ist Nullfolge folgt?
Beginne ich mit [mm] ((a_n [/mm] - [mm] b_n)_n [/mm] + [mm] (b_n [/mm] - [mm] c_n)_n) [/mm] kürzt sich [mm] b_n [/mm] heraus, aber damit ist doch noch nicht gezeigt, dass auch [mm] (a_n [/mm] - [mm] c_n) [/mm] Nullfolge ist, oder?
LG xsara
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Ehrlich gesagt doch... 
Denn es gibt einen Satz der Analysis: sind [mm] $(x_n)$ [/mm] und [mm] $(y_n)$ [/mm] konvergente Folgen mit Grenzwerten $x$ bzw. $y$, dann konvergiert auch die Folge [mm] $(x_n [/mm] + [mm] y_n)$ [/mm] und zwar mit Grenzwert $x + y$.
Konkret heißt das hier: setze [mm] $x_n [/mm] := [mm] a_n [/mm] - [mm] b_n$, [/mm] dann ist das eine gegen 0 konvergente Folge. Und [mm] $y_n [/mm] := [mm] b_n [/mm] - [mm] c_n$ [/mm] ist dann auch eine gegen 0 konvergente Folge. Du betrachtest nun [mm] $a_n [/mm] - [mm] c_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - [mm] c_n [/mm] = [mm] x_n [/mm] + [mm] y_n$. [/mm] Nach dem Satz konvergiert auch diese Summe und zwar gegen 0 + 0 - ist also eine Nullfolge!
Alles klar? Viel Erfolg beim Rest, genug Hinweise gab es ja, denke ich.
Gruß,
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Do 30.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Im Prinzip zielt meine Antwort in dieselbe richtung wie die von Gnometech (bzw. ist das die Grundlage für seine Antwort).
Verwende hier die Dreiecksungleichung $|x+y| \ [mm] \le [/mm] \ |x|+|y|$
Mit der Voraussetzung [mm] $\left|a_n-b_n\right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\left|b_n-c_n\right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] kannst Du nämlich nachweisen:
[mm] $\left|(a_n-c_n)-0\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|a_n-b_n+b_n-c_n\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|(a_n-b_n)+(b_n-c_n)\right| [/mm] \ < \ [mm] \left|a_n-b_n\right|+\left|b_n-c_n\right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] \ = \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Damit ist [mm] $\left$ [/mm] auch eine Nullfolge.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Do 30.11.2006 | | Autor: | xsara |
Hallo Loddar!
Danke für den schönen Beweis!
LG xsara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Do 30.11.2006 | | Autor: | xsara |
Zu b) ist mir nun klar, dass man für die Addition durch "geschicktes" Klammern zeigen kann, dass auch [mm] (a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - [mm] c_n [/mm] - [mm] d_n)_n [/mm] eine Nullfolge ist. Gibt es auch für die Multiplikation so einen Trick?
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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Ja, gibt es auch, geschicktes Erweitern, sozusagen...
Es gilt doch:
[mm] $a_n c_n [/mm] - [mm] b_n d_n [/mm] = [mm] a_n c_n [/mm] - [mm] a_n d_n [/mm] + [mm] a_n d_n [/mm] - [mm] b_n d_n [/mm] = [mm] a_n \cdot (c_n [/mm] - [mm] d_n) [/mm] + [mm] d_n \cdot (a_n [/mm] - [mm] b_n)$.
[/mm]
Jetzt weißt Du schon, dass die Differenzen in den Klammern Nullfolgen sind und solltest Dich aber um die Faktoren kümmern. Dann ist es nützlich zu wissen, dass Cauchy-Folgen beschränkt sind...
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Do 30.11.2006 | | Autor: | xsara |
Hallo Lars!
Vielen Dank, jetzt ist alles klar.
LG
xsara
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