Konstruktion einer Zufallsvar. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Mo 21.05.2007 | | Autor: | cantor |
| Aufgabe | Seien 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b. Konstruieren Sie auf einem geeigneten Maßraum numerische Zufallsvariablen X, [mm] X_{n} [/mm] (X, [mm] X_{n} [/mm] positiv) mit
[mm] X_{n} \to [/mm] X und [mm] \integral_{}^{}{X d\mu} [/mm] = a, [mm] \integral_{}^{}{X_{n} d\mu} \to [/mm] b |
Hallo,
Ich suche Zufallsvariablen, die die Bedingungen oben erfüllen. Es sollte ja eigentlich nicht so schwer sein. Grundsätzlich darf ja auf jeden Fall [mm] X_{n} [/mm] nicht monoton gegen X konvergieren, sonst dürfte man doch Integral und Limes vertauschen, dann wäre a<b nicht mehr o.k. oder?
Für jede Hilfe oder Idee bin ich sehr dankbar.
Viele Grüße Cantor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mo 21.05.2007 | | Autor: | DirkG |
Es reicht, den Fall $a=0,b=1$ zu betrachten, alles andere kriegt man über geeignete lineare Transformationen hin.
Außerdem kann man die [mm] $X_n$ [/mm] gleich so konstruieren, dass die zugehörigen Integrale nicht nur gegen $b$ konvergieren, sondern sogar konstant gleich $b$ sind. Und da hat man doch alle Freiheiten der Welt, z.B.
[mm] $\mu$ [/mm] ... Lebesgue-Maß auf [mm] $(1,\infty)$
[/mm]
[mm] $X_n(\omega) [/mm] = [mm] n\omega^{-n-1},\qquad \omega\in(1,\infty)$
[/mm]
$X=0$
Ok, dieses $X$ ist nicht positiv, sondern "nur" nichtnegativ. Dann musst du eben noch eine geeignete Offsetfunktion addieren. 
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