Konstruktion Lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Fr 08.01.2010 | | Autor: | j3ssi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Konstruiere eine lineare Abbildung $F:\IR^3 \to \IR^3 $, die $ F \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}= \vektor{1\\2\\-1}$, $F \vektor{ 1 \\ 1 \\ -3 } =\vektor{3 \\ -4 \\ 7}}$ , $ F\vektor{2 \\ 2 \\ 0 }=\vektor{3 \\1 \\ 2}$ erfüllt und
(i) ein Isomorphismus ist
(ii) kein Isomorphismus ist. |
Zu (i) muss ich also eine Abbildung konstruieren für die zusätzlich gilt das $F(\vec{0})=\vec{0} $
Zu (ii) muss ich ein Abbildung konstruieren die nicht injektiv ist also Kern F$\not= \vec{0}$
Wie gehe ich weiter vor?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:00 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Sax |
> Konstruiere eine lineare Abbildung [mm]F:\IR^3 \to \IR^3 [/mm], die
> [mm]F \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}= \vektor{1\\2\\-1}[/mm], [mm]F \vektor{ 1 \\ 1 \\ -3 } =\vektor{3 \\ -4 \\ 7}}[/mm]
> , [mm]F\vektor{2 \\ 2 \\ 0 }=\vektor{3 \\1 \\ 2}[/mm] erfüllt und
> (i) ein Isomorphismus ist
> (ii) kein Isomorphismus ist.
> Zu (i) muss ich also eine Abbildung konstruieren für die
> zusätzlich gilt das [mm]F(\vec{0})=\vec{0}[/mm]
Nein. [mm] F(\vec{0}) [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] gilt immer für jede lineare Abbildung.
Entscheidend ist, dass nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird.
> Zu (ii) muss ich ein Abbildung konstruieren die nicht
> injektiv ist also Kern F[mm]\not= \vec{0}[/mm]
>
> Wie gehe ich weiter vor?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du siehst doch, dass 1,5 * [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + 0,5 * [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{ 2 \\ 2 \\ 0} [/mm] ist.
Die dritte "Definitions"-Gleichung von F folgt also aus den beiden ersten.
Suche Dir also einen beliebigen dritten Vektor, der mit den beiden ersten eine linear unabhängige Menge, also eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bildet und wähle als Bild einmal einen, der nicht (ii) und einmal einen, der doch (i) in dem von den Bildvektoren aufgespannten Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] liegt.
Gruß Sax.
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Hallo,
ich habe eine ähnliche Aufgabe zu bearbeiten.
Ich habe dabei ein LGS aufgestellt und gelöst und am Ende herausgekriegt, dass das Vektorsystem linear unabhängig ist. Womit ich dann eine Basis hätte, die als lineare Abbildung geeignet ist.
Mich wundert aber wo die Abbildungsvorschrift bleibt? Man muss doch eine lineare Abbildung konstruieren oder nicht? Das was man bis dahin gezeigt hat, ist doch nur, dass eine lineare Abbildung existiert.... ??
Noch eine Frage zum Isomorphismus:
Reicht es denn nicht zu zeigen, dass eine Abbildung injektiv, surjektiv und eine lineare Abbildung ist?
Damit hätte ich dann doch gezeigt, dass es sich um einen bijektiven Homomoprhismus handelt, was in dem Fall ja den Isomorphismus entspricht oder nicht?
Bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Womit ich dann eine Basis hätte, die als lineare
> Abbildung geeignet ist.
Dieser Satz ist mir leider unverständlich.
Eine Basis und eine lin. Abb. sind doch zwei völlig verschiedene Dinge.
Eine lin.Abb. existiert doch an sich, lediglich ihre (Koordinaten-)Darstellung ist von der gewählten Basis abhängig.
> Mich wundert aber wo die Abbildungsvorschrift bleibt? Man
> muss doch eine lineare Abbildung konstruieren oder nicht?
Genau ! Und deshalb müssen doch in der Aufgabenstellung (die leider nicht angegeben ist) gewisse zu erfüllende Forderungen an die gesuchte Abb. gestellt sein.
> Das was man bis dahin gezeigt hat, ist doch nur, dass eine
> lineare Abbildung existiert.... ??
Siehe oben, Abbildungen existieren und Basen auch.
> Noch eine Frage zum Isomorphismus:
>
> Reicht es denn nicht zu zeigen, dass eine Abbildung
> injektiv, surjektiv und eine lineare Abbildung ist?
> Damit hätte ich dann doch gezeigt, dass es sich um einen
> bijektiven Homomoprhismus handelt, was in dem Fall ja den
> Isomorphismus entspricht oder nicht?
Jawoll
> Bin für jede Hilfe dankbar!
Hoffe, dies war eine.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 09.01.2010 | | Autor: | ana86 |
Suche Dir also einen beliebigen dritten Vektor, der mit den beiden ersten eine linear unabhängige Menge, also eine Basis des bildet und wähle als Bild einmal einen, der nicht (ii) und einmal einen, der doch (i) in dem von den Bildvektoren aufgespannten Unterraum des liegt.
Wie wähle ich diesen Vektor der nicht in dem Unterraum liegt, und den, der in dem Unterraum liegt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Wie wähle ich diesen Vektor der nicht in dem Unterraum
> liegt, und den, der in dem Unterraum liegt
>
Wie du ihn wählst, ist beliebig, die Frage ist vielleicht, wie du ihn findest.
In dem Unterraum liegen alle Vektoren der Form [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{ 1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{ 3 \\ -4 \\ 7} [/mm] mit beliebigen reellen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu. [/mm] Wähle dir irgendeinen, du hast die freie Auswahl !
Für [mm] \lambda [/mm] = 7 und [mm] \mu [/mm] = -3 (meine Lieblingszahlen) ergibt sich z.B.
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{ -2 \\ 26 \\ -28}.
[/mm]
Nicht in dem Unterraum liegen alle diejenigen Vektoren , für die es keine solchen Werte für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] gibt. Der Vektor [mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ -28} [/mm] ist so einer, denn für die Null in der ersten Koordinate muss zwingend [mm] \lambda [/mm] = [mm] -3\mu [/mm] sein, für die zweite muss [mm] \lambda [/mm] = [mm] 2\mu [/mm] sein, aber die beiden einzigen Zahlen mit beiden Beziehungen, nämlich [mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \mu [/mm] = 0 ergeben in der dritten Koordinate nicht -28.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Sa 09.01.2010 | | Autor: | ana86 |
Vielen Dank!
Wie schreibe ich diese Abbildung auf? Ist es so richtig
[mm] (\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ -3}, \vektor{2 \\ 2 \\ 1}) \mapsto (\vektor{1 \\ 2 \\ -1}, \vektor{3 \\ -4 \\ 7}, \vektor{-2 \\ 26 \\ -28})
[/mm]
Das steht dann für Isomorphismus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Nein, ist es nicht.
Wie kommst du auf den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] ?
Ich zitiere mal meine erste Antwort :
"Suche Dir also einen beliebigen dritten Vektor, der mit den beiden ersten eine linear unabhängige Menge, also eine Basis des $ [mm] \IR^3 [/mm] $ bildet.."
Nun ist aber 7/4 [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + 1/4 [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1}, [/mm] was der l.u. widerspricht.
Gruß Sax.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:32 Sa 09.01.2010 | | Autor: | LittleGauss |
Ich glaube die Abbildungsvorschrift ist gerade das was der Threadersteller schon genannt hat, nämlich:
F(1 1 [mm] 1)^T=(1 [/mm] 2 [mm] -1)^T [/mm] , F(1 1 [mm] -3)^T=(3 [/mm] -4 7). Dazu kommt noch der 3.Vektor.
Sagen wir mal der 3. Vektor lautet: (0 1 [mm] 0)^T.
[/mm]
Dann würden die 3 Vektoren ein linear unabhängiges Vektorsystem bilden.
Aber wie geht es weiter? Wie kommt man zu der gewünschten Abbildung, die man konstruieren muss??
Man soll doch eine Funktion finden, die diese Bedingung erfüllt (s.o.).
So verstehe ich das jedenfalls.
Bloß, wie macht man das???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Sa 09.01.2010 | | Autor: | j3ssi |
Da eine lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis definiert sind, hab ich [mm] $\vektor{1\\ 1\\1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1\\ 1\\-3}$ [/mm] mit $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] zu einer Basis des [mm] $IR^3$ [/mm] ergäntzt. Dann habe ich [mm] F\vektor{1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{a\\ b \\c}$ [/mm] gewählt und im Folgenden folgende Gleichung gelöst
[mm] \pmat{1 & 3 & a \\ 2 & -4 & b \\ -1 & 7 & c } [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\x_2 \\ x_3}= \vec{0}. [/mm]
Jetzt habe ich a, b und c so gewählt das nur die triviale Lösung [mm] $x=\vec{0}$ [/mm] in Frage kommt.
Dann habe ich mit [mm] F(\vec{x}+\vec{y})=F\vec{x}+F\vec{y} [/mm] die Bilder der Standarbasen auzsgerechnet und damit eine lineare Abbildung konstruiert.
Ist das Vorgehen so richtig??
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> Da eine lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis
> definiert sind, hab ich [mm]$\vektor{1\\ 1\\1}$[/mm] und
> [mm]$\vektor{1\\ 1\\-3}$[/mm] mit $ [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$[/mm] zu einer
> Basis des [mm]$IR^3$[/mm] ergäntzt. Dann habe ich [mm]F\vektor{1 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> = [mm]\vektor{a\\ b \\c}$[/mm] gewählt und im Folgenden folgende
> Gleichung gelöst
> [mm]\pmat{1 & 3 & a \\ 2 & -4 & b \\ -1 & 7 & c }[/mm] * [mm]\vektor{x_1 \\x_2 \\ x_3}= \vec{0}.[/mm]
>
> Jetzt habe ich a, b und c so gewählt das nur die triviale
> Lösung [mm]x=\vec{0}[/mm] in Frage kommt.
>
> Dann habe ich mit [mm]F(\vec{x}+\vec{y})=F\vec{x}+F\vec{y}[/mm] die
> Bilder der Standarbasen auzsgerechnet und damit eine
> lineare Abbildung konstruiert.
>
> Ist das Vorgehen so richtig??
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
wenn ich Deine Story richtig verstehe (!), mir den Rest dazudenke (!) und Du außerdem richtig gerechnet hast (!), dann hast Du in der Tat die darstellende Matrix einer injektiven Abbildung mit den vorgegebenen Bedingungen berechnet.
Ob ich Dich richtig interpretiere, steht in den Sternen, solange ich's nicht sehe.
Aber Du kannst ja jetzt auch selbst den Kern Deiner Abbildung ausrechnen und die Funtionswerte auf den ersten beiden Basisvektoren.
Dann siehst Du's ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Sa 09.01.2010 | | Autor: | ana86 |
> Hi,
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> Nein, ist es nicht.
> Wie kommst du auf den Vektor [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] ?
> Ich zitiere mal meine erste Antwort :
> "Suche Dir also einen beliebigen dritten Vektor, der mit
> den beiden ersten eine linear unabhängige Menge, also eine
> Basis des [mm]\IR^3[/mm] bildet.."
> Nun ist aber 7/4 [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + 1/4 [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -3}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1},[/mm] was der l.u. widerspricht.
>
> Gruß Sax.
Danke!
Das mit den Vektor habe ich im Nachhinein gemerkt. Also wenn ich z.B.: dem Vektor [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1} [/mm] nehme, kann ich dann die lineare Abbildung so aufschreiben, wie ich das in der letzten Frage gemacht habe?
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> > Hi,
> >
> > Nein, ist es nicht.
> > Wie kommst du auf den Vektor [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] ?
> > Ich zitiere mal meine erste Antwort :
> > "Suche Dir also einen beliebigen dritten Vektor, der
> mit
> > den beiden ersten eine linear unabhängige Menge, also eine
> > Basis des [mm]\IR^3[/mm] bildet.."
> > Nun ist aber 7/4 [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + 1/4 [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -3}[/mm]
> > = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1},[/mm] was der l.u. widerspricht.
> >
> > Gruß Sax.
>
>
> Danke!
> Das mit den Vektor habe ich im Nachhinein gemerkt. Also
> wenn ich z.B.: dem Vektor [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1}[/mm] nehme, kann
> ich dann die lineare Abbildung so aufschreiben, wie ich das
> in der letzten Frage gemacht habe?
Hallo,
.
Du meinst so:
$ [mm] (\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ -3}, \vektor{2 \\ 3 \\ 1}) \mapsto (\vektor{1 \\ 2 \\ -1}, \vektor{3 \\ -4 \\ 7}, \vektor{-2 \\ 26 \\ -28}) [/mm] $ ?
Nein.
Entweder schreibst Du
[mm] f(a\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+b \vektor{1 \\ 1 \\ -3} +c\vektor{2 \\ 2 \\ 1}):=a\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+b \vektor{3 \\ -4 \\ 7}+\vektor{-2 \\ 26 \\ -28} [/mm] ,
bzw.
[mm] a\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+b \vektor{1 \\ 1 \\ -3} +c\vektor{2 \\ 2 \\ 1}\mapsto a\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+b \vektor{3 \\ -4 \\ 7}+\vektor{-2 \\ 26 \\ -28},
[/mm]
oder Du rechnest Dir damit aus,
was
[mm] f(\vektor{x\\y\\z}) [/mm] ergibt,
was auf das hinausläuft, was einer deiner Kommilitonen ansatzweise beschreibt: stelle zunächst die Standardeinheitsvektoren als linearkombination der neuen Basisvektoren dar und berechne dann ihre Bilder unter f.
Gruß v. Angela
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Irgendwie bin ich jetzt total verwirrt. Bei dem was ihr macht, erhält ihr doch die Darstellungsmatrix !
Das ist aber NICHT gefragt! In der Aufgabenstellung steht doch nichts davon, dass man die zugehörige Matrix zu der Abbildung angeben soll, sondern dass man selber eine Abbildung KONSTRUIEREN soll, die einmal isomorph ist und einmal nicht und zzgl. die gegeben Bedingungen erfüllt(s.o.).
Ferner muss man zeigen, dass die Abbildung, die man gefunden hat linear ist und nicht die Linearität wie eine Voraussetzung ausnutzen.
Ich denke, dass das alles richtig ist was ihr da gemacht habt, aber es geht an der Aufgabe vorbei, weil es nicht das gleiche ist eine Abbildung zu konstruieren oder eine Matrix zur geg. Abb zu finden.
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oder hast du nicht die ganze aufgabenstellung wiedergegeben @jessi ??
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> Irgendwie bin ich jetzt total verwirrt. Bei dem was ihr
> macht, erhält ihr doch die Darstellungsmatrix !
Hallo,
mir ist nicht klar, auf welches der vielen Posts Du Dich beziehst.
Es ist aber doch so, daß die Darstellungsmatrix ziemlich viel mit der von ihr dargestellten Abbildung zu tun hat.
Wenn A die Darstellungsmatrix der Abbildung f ist, dann ist doch f(x)=Ax.
Mit der Matrix hat man also die Abbildung. (Man muß dann bloß etwas aufpassen, daß man den Vektor x bzgl der richtigen Basis angibt.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 So 10.01.2010 | | Autor: | j3ssi |
Wenn man ein Darstellungsmatrix hat die die gegebenen Vorraussetzungen aus der Aufgabenstellung erfüllt, so ist die Abbildung automatisch linear und mit Kern [mm] F$=\vec{O}$ [/mm] auch isomorph
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