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| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Differentialgleichung für die Anfangsbedingung y(0)=1 durch Trennung der Variablen:
y'=4+y; |
Nach dem Integrieren erhält man doch [mm] ln(4+y)+C_{1}=x+C_{2}
[/mm]
Wieso kann man die beiden Cs zu einem zusammenfassen?:
ln(4+y)=x+C;
Verrechnen mit der e-Fkt. ergibt:
[mm] 4+y=e^{x+C}
[/mm]
bzw.:
[mm] 4+y=e^{x}*e^{C};
[/mm]
Wieso kann man das [mm] e^{C} [/mm] jetzt wieder zu C zusammenfassen?
Ist [mm] e^{C} [/mm] gleich C? Widerspricht sich das nicht? Nach Berücksichtigung der Anfangsbedingung müsste dann doch für C=5 gelten [mm] e^{5} [/mm] =5?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die folgende Differentialgleichung für die
> Anfangsbedingung y(0)=1 durch Trennung der Variablen:
> y'=4+y;
> Nach dem Integrieren erhält man doch
> [mm]ln(4+y)+C_{1}=x+C_{2}[/mm]
> Wieso kann man die beiden Cs zu einem zusammenfassen?:
[mm] C:=C_2-C_1.
[/mm]
>
> ln(4+y)=x+C;
>
> Verrechnen mit der e-Fkt. ergibt:
> [mm]4+y=e^{x+C}[/mm]
> bzw.:
> [mm]4+y=e^{x}*e^{C};[/mm]
> Wieso kann man das [mm]e^{C}[/mm] jetzt wieder zu C
> zusammenfassen?
[mm] C_0:=e^C, [/mm] also
[mm] 4+y=C_0e^x
[/mm]
> Ist [mm]e^{C}[/mm] gleich C?
Nein !
> Widerspricht sich das nicht? Nach
> Berücksichtigung der Anfangsbedingung müsste dann doch
> für C=5 gelten [mm]e^{5}[/mm] =5?
Mit meiner Bez. [mm] C_0=5
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Di 21.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Valkyrion,
Ich selbst war auch sehr unsicher mit dem Umgang der "Konstanten"
bei der Methode "Trennung der Variablen". Natürlich wirst du im
Laufe deines Studiums immer wieder auf diese "Notation" kommen,
aber ich zeige dir im Folgenden einen Weg, der die Benutzung der
"Konstanten" etwas "umgeht".
(Ich werde probieren es so simpel wie möglich zu halten.)
Seien [mm] $g\colon I\to\IR$ [/mm] und [mm] $f\colon J\to\IR$ [/mm] zwei stetige Funktionen auf offenen Inter-
vallen [mm] I,J\subseteq\IR. [/mm] Betrachte
[mm] \begin{cases} y'=g(x)*f(y) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases}
[/mm]
mit [mm] $x_0\in [/mm] I$ und [mm] $y_0\in [/mm] J$.
Ist [mm] f(y_0)=0, [/mm] dann ist [mm] y(x)=y_0 [/mm] eine konstante Lösung. Ist [mm] f(y_0)\not=0, [/mm] dann
erhalten wir in einem hinreichend kleinen offenen Intervall [mm] $H\subseteq [/mm] I$ um
[mm] x_0 [/mm] eine Lösung, die man aus der Formel
[mm] \integral_{y_0}^{y}\frac{d\eta}{f(\eta)}=\integral_{x_0}^{x}g(\xi)f\xi
[/mm]
durch Auflösen nach [mm] $y\$ [/mm] erhält.
Wir merkt man sich die Formel? Ganz banal:
[mm] $y'=\frac{dy}{dx}=g(x)*f(y)\rightsquigarrow\frac{dy}{f(y)}=g(x)dx\rightsquigarrow\integral\frac{dy}{f(y)}=\integral [/mm] g(x)dx$.
Obige Aussage kann man natürlich beweisen und falls du Interesse
hast, dann kann ich das ausführen. Das Wichtige hierbei sind aber
die Grenzen bei der Integration, denn wir brauchen die "Konstanten"
nicht mehr.
Testen wir es direkt mit deiner Aufgabe! Zur Erinnerung:
[mm] \begin{cases} y'=g(x)*f(y) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases}.
[/mm]
Bei der Betrachtung von
[mm] \begin{cases} y'=4+y \\ y(0)=1 \end{cases}
[/mm]
fällt auf, dass wir es hier sogar mit einem noch einfacheren Fall
zutun haben (Wieso?). Zur Vollständigkeit: Mit [mm] $g(x):=1\$ [/mm] "passt" es.
Wir erhalten demnach
[mm] \integral_{y_0}^{y}\frac{d\eta}{f(\eta)}=\integral_{x_0}^{x}g(\xi)f\xi\rightsquigarrow\integral_{1}^{y}\frac{d\eta}{4+\eta}=\integral_{0}^{x}f\xi\rightsquigarrow\ln(4+y)-\ln(4+1)=x-0
[/mm]
[mm] \rightsquigarrow\ln(4+y)=x+\ln(5)\rightsquigarrow y=e^{x+\ln(5)}-4\rightsquigarrow y=5e^{x}-4.
[/mm]
Die Probe [mm] $y(0)=5e^{0}-4=1\$ [/mm] sollte die letzten Zweifel beseitigen.
Vielleicht gefällt dir das so besser? Mir schon. 
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Di 21.10.2014 | | Autor: | fred97 |
Welcher Lösungsweg einem besser gefält oder nicht, ist Geschmacksache...
Mir gefällt es z.B. überhaupt nicht, wenn man ein solch popeliges Anfangswertproblem, wie
y'=4+y,
y(0)=1
mit Trennung der Variablen löst.
Setzt man z:=4+y, so kommt man zum AWP
(*) z'=z, z(0)=5.
Die allgemeine Lösung der DGL in (*) lautet: [mm] z(x)=Ce^x [/mm] (C [mm] \in \IR). [/mm] Wegen
5=z(0)=C
lautet die Lösung des AWPs (*): [mm] z(x)=5e^x.
[/mm]
Die Lösung des ursprünglichen AWPs ist dann
[mm] y(x)=5e^x-4.
[/mm]
FRED
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