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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Do 23.02.2012 | | Autor: | kickerle |
Hallo zusammen,
folgende Aufgabe:
gegeben ist eine reellwertige Funktion f(x) (weder als differenzierbar noch als stetig angenommen). Für alle x und alle e>0 existiert ein d>0, so dass für alle [mm]x_1\in(x-d,x+d)[/mm] gilt
[mm]\frac{f(x_1)-f(x)}{|x_1-x|}
Ist f(x) konstant?
Wenn f diffbar wäre, wäre es ja klar, da dann die Ableitung nur null sein kann. Wie kann ich die Frage aber ohne diese Annahme beantworten? Ein Gegenbeispiel konnte ich bisher nicht finden.
Vielen Dank im vorraus.
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Hallo,
wenn mich nicht alles täuscht, reicht hier als Gegenbeispiel eben eine Funktion, die nicht konstant ist. I.a. wird dein x dann an eine Stelle sein, an der kein Minimum vorliegt. Was bedeutet das für die Werte [mm] f(x_1) [/mm] mit [mm] x_1\in{(x-\delta;x+\delta)}?
[/mm]
EDIT:
Ich glaube, meine Überlegung hier war falsch. Sie bezog sich auch nur auf Funktionen über einem zusammenhängenden Intervall. Beachte die weiteren Hinweise!
Gruß, Diophant
PS: ich hab es mal in der [mm] \epsilon-\delta-Schreibweise [/mm] aufgeschrieben.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Do 23.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
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> folgende Aufgabe:
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> gegeben ist eine reellwertige Funktion f(x) (weder als
> differenzierbar noch als stetig angenommen). Für alle x
> und alle e>0 existiert ein d>0, so dass für alle
> [mm]x_1\in(x-d,x+d)[/mm] gilt
>
> [mm]\frac{f(x_1)-f(x)}{|x_1-x|}
>
> Ist f(x) konstant?
>
> Wenn f diffbar wäre, wäre es ja klar, da dann die
> Ableitung nur null sein kann. Wie kann ich die Frage aber
> ohne diese Annahme beantworten? Ein Gegenbeispiel konnte
> ich bisher nicht finden.
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> Vielen Dank im vorraus.
Hallo,
ich würde an deiner Stelle zunächst mit einem Widerspruchsbeweis zeigen, dass eine Funktion mit gegebenen Eigenschaften gar nicht unstetig sein kann.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Hallo zusammen,
> >
> > folgende Aufgabe:
> >
> > gegeben ist eine reellwertige Funktion f(x) (weder als
> > differenzierbar noch als stetig angenommen). Für alle x
> > und alle e>0 existiert ein d>0, so dass für alle
> > [mm]x_1\in(x-d,x+d)[/mm] gilt
> >
> > [mm]\frac{f(x_1)-f(x)}{|x_1-x|}
> >
> > Ist f(x) konstant?
> >
> > Wenn f diffbar wäre, wäre es ja klar, da dann die
> > Ableitung nur null sein kann. Wie kann ich die Frage aber
> > ohne diese Annahme beantworten? Ein Gegenbeispiel konnte
> > ich bisher nicht finden.
> >
> > Vielen Dank im vorraus.
>
> Hallo,
> ich würde an deiner Stelle zunächst mit einem
> Widerspruchsbeweis zeigen, dass eine Funktion mit gegebenen
> Eigenschaften gar nicht unstetig sein kann.
Hallo Abakus,
doch, es gibt unstetige Funktionen mit den gegebenen Eigenschaften:
https://matheraum.de/read?i=870277
FRED
> Gruß Abakus
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] definiert durch
f(x):=0, falls x [mm] \le [/mm] 0 und f(x):=-1, falls x>0.
Wenn ich mich nicht vertan habe , ist das ein Gegenbeispiel
FRED
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Hallo Kickerle,
die Frage, die sich mir hier aufdrängt, ist auch, ob du im Zähler die Betragsstriche vergessen hast, oder nicht, also ob es wirklich
$ [mm] \frac{f(x_1)-f(x)}{|x_1-x|}
oder nicht eher
$ [mm] \frac{|f(x_1)-f(x)|}{|x_1-x|}
heißen soll.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Kickerle,
>
> die Frage, die sich mir hier aufdrängt, ist auch, ob du im
> Zähler die Betragsstriche vergessen hast, oder nicht,
Hallo Gono,
ich glaube, das ist gerade der Nerv der Aufgabe:
Falls es so lautet:
[mm]\frac{|f(x_1)-f(x)|}{|x_1-x|}
so folgt aus den Voraussetzungen, dass f in jedem x differenzierbar ist mit f'(x)=0
Dann ist f konstant (zumindest, wenn f auf einem Intervall definiert ist)
Daher glaube ich an die Version ohne Betragsstriche
Gruß FRED
> also
> ob es wirklich
>
> [mm]\frac{f(x_1)-f(x)}{|x_1-x|}
>
> oder nicht eher
>
> [mm]\frac{|f(x_1)-f(x)|}{|x_1-x|}
>
> heißen soll.
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> folgende Aufgabe:
>
> gegeben ist eine reellwertige Funktion f(x) (weder als
> differenzierbar noch als stetig angenommen). Für alle x
> und alle e>0 existiert ein d>0, so dass für alle
> [mm]x_1\in(x-d,x+d)[/mm] gilt
>
> [mm]\frac{f(x_1)-f(x)}{|x_1-x|}
>
> Ist f(x) konstant?
>
> Wenn f diffbar wäre, wäre es ja klar, da dann die
> Ableitung nur null sein kann.
f muß aber dann nicht konstant sein , wenn der Def.-bereich von f kein Intervall ist !
Bsp: f(x)=0 für x [mm] \in [/mm] (0,1) und f(x)=1 für x [mm] \in [/mm] (5,9)
f ist in jedem Punkt aus D:=(0,1) [mm] \cup [/mm] (5,9) differenzierbar , die Ableitung ist überall =0, konstant ist f aber nicht.
FRED
> Wie kann ich die Frage aber
> ohne diese Annahme beantworten? Ein Gegenbeispiel konnte
> ich bisher nicht finden.
>
> Vielen Dank im vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Do 23.02.2012 | | Autor: | kickerle |
Vielen Dank für die Hilfe. So wie ich es geschrieben habe, ohne Betrag im Zähler, war die Aufgabe gestellt.
Das Gegenbeispiel haut soweit hin, wobei man in der Aufgabenstellung natürlich noch [mm]x_1\neq x[/mm] ergänzen müsste.
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