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| Aufgabe | Es sei G= die Gruppe der Orientierungserhaltenden Isometrien der Euklidischen Ebene.
a) Beschreibe die Konjugationsklassen von G geometrisch
b) Zeige: Sind alpha= [mm] p_{A,\delta}, beta=p_{B,\delta} [/mm] Rotationen mit demselben Drehwinkel [mm] \delta, [/mm] dann ist [mm] alphabeta^{-1} [/mm] eine Translation [mm] t_{\vec{a}}. [/mm] Bestimme den Vektor [mm] \vec{a} [/mm] aus alpha und beta.
c) Zeige: Jeder Normalteiler N von G, N [mm] \not= [/mm] e, enthält die volle Translationsgruppe |
An dieses Aufgabe beise ich mir auch schon seid DI die Zähne aus. Ich bin für jede Hilfe dankbar
lg Zwei.blum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Do 30.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> Es sei G= die Gruppe der Orientierungserhaltenden
> Isometrien der Euklidischen Ebene.
> a) Beschreibe die Konjugationsklassen von G geometrisch
Wie habt ihr das genau definiert? Doch wohl einfach durch [m]i:x\mapsto A*x+b, A\in SO(n),b\in \IR^n[/m]. Na, was ist dann das Inverse so einer Isometrie? Jetzt nimm dir wieder eine bel Isometrie [m]j[/m] und berechne mal [m]i^{-1}\circ j\circ i[/m]. Falls ihr das etwas anders definiert habt, bitte sag das. Jetzt überleg mal, was das geomterisch heißt - es gibt ja Rotationen und Translationen.
> b) Zeige: Sind alpha= [mm]p_{A,\delta}, beta=p_{B,\delta}[/mm]
> Rotationen mit demselben Drehwinkel [mm]\delta,[/mm] dann ist
> [mm]alphabeta^{-1}[/mm] eine Translation [mm]t_{\vec{a}}.[/mm] Bestimme den
> Vektor [mm]\vec{a}[/mm] aus alpha und beta.
Im Wesentlichen wieder einfach die Isometrien in einader einsetzen! Es ist doch geometrisch klar, dass sich die Rotationen gegeninader aufheben, oder?
> c) Zeige: Jeder Normalteiler N von G, N [mm]\not=[/mm] e, enthält
> die volle Translationsgruppe
Na, probier doch das mal auf b) zurückzuführen. Variere den vektor B ...
SEcki
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