Kongruenzsystem lösen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mo 29.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | (ii) Lösen Sie das folgende System simultaner Kongruenzen:
x [mm] \equiv [/mm] 5(mod12)
x [mm] \equiv [/mm] 6(mod13)
x [mm] \equiv [/mm] 7(mod14) |
Also wir haben eine Algorithmus gelernt und ich wollte wissen ob das ok is:
Ich setze [mm] x_{1} [/mm] = 5, dann gilt [mm] x_{1} [/mm] = 5(mod12)
Dann setze ich [mm] x_{2} [/mm] = 5 + 12z
Dann: [mm] x_{2} \equiv [/mm] 6(mod13)
5 + 12z [mm] \equiv [/mm] 6(mod13)
12z [mm] \equiv [/mm] 1(mod13)
Dann ist z=12 (denn 12*12=144 und 13*11=143), dh. [mm] x_{2} [/mm] = 5 + 12*12 = 149.
Nun [mm] x_{3} [/mm] = 149 + 156z (da kgV(12,13)=156)
[mm] x_{3} \equiv [/mm] 7(mod14)
149 + 156z [mm] \equiv [/mm] 7(mod14)
156z [mm] \equiv [/mm] -2(mod14)
156z [mm] \equiv [/mm] 12(mod14)
13z [mm] \equiv [/mm] 1(mod14)
z=13 (denn 13*13=169 und 12*14=168)
dann wäre mein gesuchtes x= [mm] x_{3} [/mm] = 2177
Die Probe passt aber gehts auch einfacher und wie formulier ich das jetzt allgemein für alle x? Mit dem kgV(12,13,14) in der Form Lösungsmenge: 2177 + 2184 [mm] \IZ [/mm] ? Oder wie?
Vielen Dank!
lenzlein
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Hallo lenzlein,
> (ii) Lösen Sie das folgende System simultaner
> Kongruenzen:
> x [mm]\equiv[/mm] 5(mod12)
> x [mm]\equiv[/mm] 6(mod13)
> x [mm]\equiv[/mm] 7(mod14)
>
> Also wir haben eine Algorithmus gelernt und ich wollte
> wissen ob das ok is:
> Ich setze [mm]x_{1}[/mm] = 5, dann gilt [mm]x_{1}[/mm] = 5(mod12)
> Dann setze ich [mm]x_{2}[/mm] = 5 + 12z
> Dann: [mm]x_{2} \equiv[/mm] 6(mod13)
> 5 + 12z [mm]\equiv[/mm] 6(mod13)
> 12z [mm]\equiv[/mm] 1(mod13)
>
> Dann ist z=12 (denn 12*12=144 und 13*11=143), dh. [mm]x_{2}[/mm] = 5
> + 12*12 = 149.
> Nun [mm]x_{3}[/mm] = 149 + 156z (da kgV(12,13)=156)
> [mm]x_{3} \equiv[/mm] 7(mod14)
> 149 + 156z [mm]\equiv[/mm] 7(mod14)
> 156z [mm]\equiv[/mm] -2(mod14)
> 156z [mm]\equiv[/mm] 12(mod14)
> 13z [mm]\equiv[/mm] 1(mod14)
>
> z=13 (denn 13*13=169 und 12*14=168)
> dann wäre mein gesuchtes x= [mm]x_{3}[/mm] = 2177
>
> Die Probe passt aber gehts auch einfacher und wie formulier
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Chinesischer Restsatz
> ich das jetzt allgemein für alle x? Mit dem kgV(12,13,14)
> in der Form Lösungsmenge: 2177 + 2184 [mm]\IZ[/mm] ? Oder wie?
Genau so.
> Vielen Dank!
> lenzlein
>
Gruss
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