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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Sa 29.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich habe als Aufgabe folgendes System von Kongruenzgleichungen zu lösen:
x [mm] \equiv [/mm] 5 mod 7
x [mm] \equiv [/mm] 7 mod 11
x [mm] \equiv [/mm] 11 mod 13
Ich weiss dabei leider nicht genau wie ich vorgehen soll.
Kann vieleicht jemand von Ihnen mir einen Vorschlag zu Literatur als auch online Quellen geben, wo die Lösbarkeit und das Lösen von Systemen von Kongruenzgleichungen beschrieben ist.
Desweiteren wollte ich wissen in wiefern das Lösen von Systemen von Kongruenzgleichungen etwas mit dem Chinesischen Restsatz zu tun hat, und wie ich mir das ganze Problem konkreter vorstellen kann.
Danke für Ihre Hilfe
mfg
Marc
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Hallo,
zum Lösen dieses Systems von Kongruenzgleichungen kannst Du so vorgehen:
[mm]
\begin{gathered}
x\; \equiv \;5\;\bmod \;7 \hfill \\
\Rightarrow \;x\; = \;5\; + \;\lambda \;7,\;\lambda \in \;\mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]
Dann berechnest Du die Lösungen dieses Ergebnis modulo 11:
[mm]\begin{gathered}
5\; + \;\lambda \;7\; \equiv \;7\;\bmod \;11 \hfill \\
\Rightarrow \;\lambda \; = \;\alpha _0 \; + \;\alpha _1 \;11 \hfill \\
\Rightarrow \;x\; = \;5\; + \;\left( {\alpha _0 \; + \;\alpha _1 \;11} \right)\;7\; = \;\beta _0 \; + \;\beta _1 \;77 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das Ergebnis für x berechnet Du dann modulo 13
[mm]
\begin{gathered}
\beta _0 \; + \;\beta _1 \;77\; \equiv \;11\;\bmod \;13 \hfill \\
\Rightarrow \;\beta _1 \; = \;\gamma _0 \; + \;\gamma _1 \;13 \hfill \\
\Rightarrow \;x\; = \;\beta _0 \; + \;\left( {\gamma _0 \; + \;\gamma _1 \;13} \right)\;77\; = \;\delta _0 \; + \;\delta _1 \;1001 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Zum Chinesischen Restsatz siehe:
http://www.zum.de/Faecher/Materialien/dorner/manuskripthtml/diogl1/chinrs1.html
Gruß
MathePower
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