Kongruenzen Freitag der 13. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mi 19.12.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | a) Wie oft kann es in einem Jahr mit 365 Tagen (also kein
Schaltjahr) höchstens einen "Freitag, den 13." geben? Geben Sie eine Lösung an, bei der die Maximalzahl an solchen Freitagen vorliegt. Ist die Lösung eindeutig bestimmt?
Mit "Lösung" ist dabei eine Auflistung von Monaten gemeint, bei denen jeweils der 13. auf einen Freitag fallt.
b) Begründen Sie, dass es in jedem Jahr mit 365 Tagen mindestens einmal zu einem "Freitag, dem 13." kommt. |
Okay. Hier gehts ja um Kongreuenzen (aktuelles Vorlesungsthema) und ich denke mal ich muss hier irgendwas (mod 7) rechnen.
Zu Aufgabe a) habe ich noch keine Idee, könnt ihr mir etwas helfen?
Hier hab ich auch nur die Idee es durch zu probieren.
Meine Idee zu b)
Bei b) muss es einen Freitag den 13. geben.
Wenn man im januar anfängt, dann kann der Freitag entweder der 1.1., 2.1,3.1.,4.1.,5.1.,6.1. oder 7.1. sein. Je nachdem wann Freitag ist, kann man +7 rechnen und kommt so irgendwann auf mindestens einen "Freitag den 13." Aber es gibt ja mal 30 und mal 31 Tag...
Aber wie begründe ich das bzw wie kann ich das vernünftig zeigen ohne Rumprobieren?
LG
heinze
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Hallo heinze,
Rumprobieren ist in der Tag nicht gefragt, sondern systematisches Vorgehen.
> a) Wie oft kann es in einem Jahr mit 365 Tagen (also kein
> Schaltjahr) höchstens einen "Freitag, den 13." geben?
> Geben Sie eine Lösung an, bei der die Maximalzahl an
> solchen Freitagen vorliegt. Ist die Lösung eindeutig
> bestimmt?
> Mit "Lösung" ist dabei eine Auflistung von Monaten
> gemeint, bei denen jeweils der 13. auf einen Freitag
> fallt.
>
> b) Begründen Sie, dass es in jedem Jahr mit 365 Tagen
> mindestens einmal zu einem "Freitag, dem 13." kommt.
> Okay. Hier gehts ja um Kongreuenzen (aktuelles
> Vorlesungsthema) und ich denke mal ich muss hier irgendwas
> (mod 7) rechnen.
Ich weiß nicht, aus was für einer Vorlage du das kopiert hast, aber es liest sich doof mit den leeren Rechtecken.
> Zu Aufgabe a) habe ich noch keine Idee, könnt ihr mir
> etwas helfen?
> Hier hab ich auch nur die Idee es durch zu probieren.
Zu a) und b) brauchst Du letztlich die gleiche Untersuchung, deswegen dazu mehr hier unten.
> Meine Idee zu b)
> Bei b) muss es einen Freitag den 13. geben.
> Wenn man im januar anfängt, dann kann der Freitag entweder
> der 1.1., 2.1,3.1.,4.1.,5.1.,6.1. oder 7.1. sein. Je
> nachdem wann Freitag ist, kann man +7 rechnen und kommt so
> irgendwann auf mindestens einen "Freitag den 13."
Ja? Woher weißt Du das?
> Aber es
> gibt ja mal 30 und mal 31 Tag...
Und sogar einmal 28. Die 29 ist ja in der Aufgabe ausgeschlossen.
> Aber wie begründe ich das bzw wie kann ich das vernünftig
> zeigen ohne Rumprobieren?
Du wirst eine Liste brauchen. Nach meiner Zählung ist Sonntag der erste Tag der Woche, Montag der zweite etc.. Portugiesen würden anders zählen und viele andere Leute auch. Das ist aber für die Aufgabe egal, Hauptsache, du hast eine eindeutige Zuordnung.
Wenn nun der 1.1. ein Tag mit der Nr. x ist, dann ist der 13.1. ein Tag mit der Nr. [mm] x+12\equiv x+5\mod{7}. [/mm] Und der 13.2. ist dann ein [mm] x+1\mod{7}. [/mm] Das gehst Du für alle Monate durch und hast also für jeden 13. eines Monats eine lineare Äquivalenz.
Für Aufgabe a musst du dann alle x von 0 bis 6 einmal durchgehen (nicht probieren, sondern rechnen) und bekommst so heraus, für welchen Jahresanfang dann die meisten 13. auf einen Freitag fallen.
Für Aufgabe b schaust Du Dir die Liste an, die Du für a zusammengestellt hast. Da stellst Du fest, dass es immer mindestens einen (oder mehr?) Dreizehnte gibt, die auf einen Freitag fallen.
Soweit klar? Dann stell erstmal die Liste für alle zwölf Monate auf; Januar und Februar habe ich Dir oben vorgegeben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 19.12.2012 | | Autor: | heinze |
Okay. Dann wäre das für:
Januar: x+5 (mod 7)
Februar:x+1 (mod 7)
März: x+1 (mod 7)
April: x+4 (mod 7)
Mai: x+6 (mod 7)
Juni: x+2 (mod 7)
Juli:x+4 (mod 7)
August:x+0 (mod 7)
September:x+2 (mod 7)
Oktober:x+5 (mod 7)
November:x+0 (mod 7)
Dezember x+3 (mod 7)
Also gibt es maximal 2x im Jahr eine Freitag den 13.??
LG
heinze
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Hallo nochmal,
ja, genauso geht das.
> Okay. Dann wäre das für:
>
> Januar: x+5 (mod 7)
> Februar:x+1 (mod 7)
> März: x+1 (mod 7)
> April: x+4 (mod 7)
> Mai: x+6 (mod 7)
> Juni: x+2 (mod 7)
> Juli:x+4 (mod 7)
> August:x+0 (mod 7)
Bis hier korrekt.
> September:x+2 (mod 7)
Da der August 31 Tage hat, muss es im September x+3 heißen.
Ich vermute aber einen Tippfehler, denn ...
> Oktober:x+5 (mod 7)
... das stimmt dann wieder.
> November:x+0 (mod 7)
Das aber wieder nicht: x+1 wäre richtig.
> Dezember x+3 (mod 7)
Aber wieso stimmt das dann wieder?
> Also gibt es maximal 2x im Jahr eine Freitag den 13.??
Nein, es sind sogar 3 solche Tage möglich.
Viel mehr sollten es auch besser nicht sein. Der Tag muss ja "besonders" bleiben, damit der Aberglaube ihn für hinreichend ungewöhnlich halten kann.
Aufgabenteil b) muss dann nur noch feststellen, dass alle x+i für [mm] 0\le i\le{6} [/mm] vorkommen.
Eine Untersuchung von Schaltjahren ist ja nicht gefordert, wäre mit der Vorarbeit aber auch gar nicht mehr mühsam.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 19.12.2012 | | Autor: | heinze |
Ich habe bei a) und b) noch ein Verständnisproblem. Ich habe jetzt den 13. jedes Monats betrachtet, aber nicht spaziell die Freitage! Und woran erkenne ich die 3 "Freitag den 13."? Sind das die Monate, wo x+1 vorkommt?
Wenn ja, kann ich das so begründen wegen Rest 1?
zu b) ich habe nicht recht verstanden wie ich überprüfen muss, dass alle x+i für alle [mm] 0\le i\le [/mm] 6 vorkommen.....
Danke für das Gute Erklären bisher.
LG
heinze
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Hallo nochmal,
ich weiß gerade nicht, ob ich sagen soll, dass es noch viel einfacher ist, oder ob Du es Dir zu einfach machen willst.
> Ich habe bei a) und b) noch ein Verständnisproblem. Ich
> habe jetzt den 13. jedes Monats betrachtet, aber nicht
> spaziell die Freitage!
Stimmt.
> Und woran erkenne ich die 3 "Freitag
> den 13."? Sind das die Monate, wo x+1 vorkommt?
> Wenn ja, kann ich das so begründen wegen Rest 1?
Nein. x ist ja beliebig: das Jahr beginnt halt mit irgendeinem Wochentag, aber der bewegt sich dann während des ganzen Jahres auch nicht mehr. In meinem Geburtsjahr war der 1.1. z.B. ein Dienstag, wie auch 2013 wieder. In solchen Jahren interessiert hier nur, ob es auch ein (oder mehrere) x+3 in der Liste gibt.
> zu b) ich habe nicht recht verstanden wie ich überprüfen
> muss, dass alle x+i für alle [mm]0\le i\le[/mm] 6 vorkommen.....
Einfach mal die Liste durchsehen. Wenn alle vorkommen, dann kann man x nicht so wählen, dass es keinen Freitag, den 13., gibt.
Stell Dir mal vor, es wäre anders, und z.B. wäre x+2 in der Liste nicht vertreten. Dann müsste man nur den 1.1. als Mittwoch "wählen", und schon wäre das Jahr frei von den gefürchteten Unglückstagen. Nun kann man den Tag nicht wählen, aber man müsste "nur noch" zeigen, dass ein Jahr auch mit einem Mittwoch beginnen kann und hätte damit auch die Jahre identifiziert, in denen es keinen Freitag, den 13., gibt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mi 19.12.2012 | | Autor: | heinze |
Ich bin grad einfach begrifsstutzig. ich soll die maximale anzahl der "freitag der 13." ermitteln die in einem jahr vorkommen können. Aber das ist doch jeweils vom jahr abhängig oder täsche ich mich? Kann ich das so formulieren? Nur dann verstehe ich nicht wie man auf eine maximale anzahl von 3 kommt!
Für b) ist nun alles klar.!
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Do 20.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo heinze,
versteh ich Frage nicht. Woll.
> Ich bin grad einfach begrifsstutzig.
Ah, ich auch.
> ich soll die maximale
> anzahl der "freitag der 13." ermitteln die in einem jahr
> vorkommen können. Aber das ist doch jeweils vom jahr
> abhängig oder täsche ich mich?
Klar. Jedes Jahr ist anders. Du täschst Dich nicht. ;-?
> Kann ich das so
> formulieren?
Standard-Rechtschreibung wäre allerdings unschädlich.
> Nur dann verstehe ich nicht wie man auf eine
> maximale anzahl von 3 kommt!
Wieso, da musst Du doch nur bis 3 zählen???
> Für b) ist nun alles klar.!
Ah, ein guter Anfang. Ganz nebenbei: nicht selbstverständlich! 
Grüße
reverend
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