Kongruenz mit Gaussklammer < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:55 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Das ist die Aufgabe: Sei p Primzahl, [mm] $E=\{x \in \IZ | 1 \le x \le p^k$, $k \in \IN$ und ggT(p,x)=1 $\}$ [/mm] und $a [mm] \in \IZ$ [/mm] mit ggT(a,p)=1. Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung gilt:
[mm]\summe_{x \in E} |\_ \frac{x*a}{p^k} \_ | x^{-1} \equiv a* \frac{a^{(p-1)*p^{k-1}} - 1 }{p^k} \! mod \, p^k[/mm]
Bei Wikipedia hab ich unter den Voraussetzungen nur gefunden, dass [mm]\summe_{x \in E} |\_ \frac{x*a}{p^k} \_ | = \frac{(a-1)(p^k -1)}{2}[/mm] ist. Nur bringt mich dass nicht wirklich weiter...
Danke schonmal fuer Eure Hilfe!
Gruss Micha 
PS: Wie macht man das Zeichen fuer die floor-Function?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 So 18.12.2005 | | Autor: | felixf |
> PS: Wie macht man das Zeichen fuer die floor-Function?
So: [mm] $\lfloor \frac{x}{2} \rfloor$, [/mm] bzw. als Code: \lfloor \frac{x}{2} \rfloor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Micha.
> $ [mm] \summe_{x \in E} |\_ \frac{x\cdot{}a}{p^k} \_ [/mm] | [mm] x^{-1} \equiv a\cdot{} \frac{a^{(p-1)\cdot{}p^{k-1}} - 1 }{p^k} \! [/mm] mod [mm] \, p^k [/mm] $
Das macht für mich keinen Sinn. Setze $p=3,k=2,a=2$, dann ist die linke Seite nicht ganzzahlig. Wie ist in diesem Falle die Kongruenz zu verstehen?
> $ [mm] \summe_{x \in E} |\_ \frac{x\cdot{}a}{p^k} \_ [/mm] | = [mm] \frac{(a-1)(p^k -1)}{2} [/mm] $
Nach meiner Rechnung stimmt auch diese Gleichung nicht. Ich erhalte [mm] $\frac{(a-1)(p-1)p^{k-1}}{2}$ [/mm] als Wert der Summe. Setzt man wieder $a=2,p=3,k=2$, so ergibt das auch korrekter Weise $3$ und nicht $4$, wie die von dir aus der Wikipedia genommene Formel.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo nochmals.
> Das macht für mich keinen Sinn. Setze p=3,k=2,a=2, dann ist die linke Seite nicht ganzzahlig. Wie ist in diesem Falle die Kongruenz zu verstehen?
Die Kongruenz [mm] $a\equiv b\pmod [/mm] {c}$ als Äquivalenz zu $c|a-b$ zu verstehen, hilft auch nicht, da die rechte Seite stets ganzzahlig ist. Man beachte dazu, dass [mm] $\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)$ [/mm] und [mm] $a^{\phi(n)}\equiv 1\pmod [/mm] {1}$ für alle [mm] $n,a\in\IN, [/mm] (a,n)=1$ ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo zusammen,
also Sinn macht die Aufgabenstellung schon, denn es ist ja gerade E die multiplikative Gruppe derjenigen x in [mm] \IZ\slash p^k\IZ, [/mm] fuer die es ein -dann eindeutig bestimmtes-
[mm] y\in \IZ \slash p^k\IZ [/mm] gibt mit [mm] p^k [/mm] | xy-1 .
Insbesondere sind also linke und rechte Seite wohldefiniert und ganzzahlig.
Ein erster Schritt:
Setzt man a= [mm] A\cdot p^k [/mm] + b an mit [mm] 1\leq [/mm] b [mm]
gilt, wenn sie fuer [mm] a\in [/mm] E (anstelle von [mm] a\in \IZ [/mm] mit ggt(a,p)=1) gilt.
Leider loest das das Kernproblem bei der Aufgabenstellung noch nicht.
Schauen wir mal .....
Viele Gruesse,
Mathias
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