Kongruenz lösbar für welche p? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 04.07.2010 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
folgende Frage:
Wie kann ich herausfinden, für welche Primzahlen [mm] p\not=2 [/mm] gilt:
[mm] 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}\mod [/mm] p ?
Also [mm] (-1)^{\frac{p-1}{2}}=(\frac{-1}{p}) [/mm] . Habe erst gedacht, dass man [mm] 2^{\frac{p-1}{2}} [/mm] mit dem Euler-Kriterium "umformen" können und dann ne Fallunterscheidungen machen könnte, aber das Kriterium gilt ja für p=2 nicht. Kann mir da jemand weiterhelfen ?
Danke!
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 So 04.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
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> folgende Frage:
> Wie kann ich herausfinden, für welche Primzahlen [mm]p\not=2[/mm]
> gilt:
> [mm]2^{\frac{p-1}{2}}\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}\mod[/mm] p ?
>
> Also [mm](-1)^{\frac{p-1}{2}}=(\frac{-1}{p})[/mm] . Habe erst
> gedacht, dass man [mm]2^{\frac{p-1}{2}}[/mm] mit dem Euler-Kriterium
> "umformen" können und dann ne Fallunterscheidungen machen
> könnte, aber das Kriterium gilt ja für p=2 nicht. Kann
> mir da jemand weiterhelfen ?
Hallo,
es ist schon mal das QUADRAT des linken Terms kongruent zum QUADRAT des rechten Terms mod p für alle p [mm] \ne [/mm] 2 (kleiner Satz von Fermat).
Gruß Abakus
>
> Danke!
>
> Gruß
> Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 04.07.2010 | | Autor: | Fry |
Hey Abakus,
danke für deine Antwort,
aber wie bringt mich das weiter?
Ich kann ja nur schlußfolgern, dass [mm] 2^{(p-1)/2}\equiv [/mm] + oder -1 [mm] \mod [/mm] p ist.
LG
Fry
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Hallo Fry,
> Ich kann ja nur schlußfolgern, dass [mm]2^{(p-1)/2}\equiv[/mm] + oder -1 [mm]\mod[/mm] p ist.
Na, das ist doch ein Anfang.
Was weißt Du über quadratische Reste?
Übrigens kannst Du auch folgern, dass für alle p, die die Bedingung erfüllen, auch gilt: [mm] (-2)^{\bruch{p-1}{2}}\equiv 1\mod{p}
[/mm]
Hilft Dir das weiter?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 04.07.2010 | | Autor: | Fry |
Huhu reverend,
also das bringt mich jetzt nicht voran, sehe jetzt keine Verbindung
Bzgl Quadratischen Resten kenn ich halt die Möglichkeiten mithilfe des Legendre Symbols zu entscheiden, ob ein Quadrat vorliegt oder nicht.
Könntest du vielleicht nochmal nen weiteren Tipp geben ? Wäre super.
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:14 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Huhu Fry,
> also das bringt mich jetzt nicht voran, sehe jetzt keine
> Verbindung
> Bzgl Quadratischen Resten kenn ich halt die Möglichkeiten
> mithilfe des Legendre Symbols zu entscheiden, ob ein
> Quadrat vorliegt oder nicht.
genau. Und fuer manche Reste hast du auch explizitere Formeln. Zum Beispiel ist [mm] $(\frac{2}{p}) [/mm] = [mm] (-1)^{(p^2 - 1)/8}$ [/mm] fuer ungerade Primzahlen $p$.
Und [mm] $(\frac{-1}{p}) [/mm] = [mm] (-1)^{(p - 1)/2}$.
[/mm]
Hattet ihr solche Formeln?
> Könntest du vielleicht nochmal nen weiteren Tipp geben ?
Deine Behauptung ist aequivalent zu [mm] $(\frac{-2}{p}) [/mm] = 1$.
LG Felix
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