Kongruenz / Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:16 Di 12.12.2006 | | Autor: | Professor |
Hallo Zusammen,
folgende Aufgabe beschäftige ich mich nun schon einiger Zeit.
Zeige: Für jede Primzahl p gilt [mm] a^{p} \equiv [/mm] a mod p für alle a [mm] \in \IZ.
[/mm]
Leider habe ich bisher noch keinen geeigneten Einstieg gefunden. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand von euch eine kleine Starthilfe geben könnte.
Ferner gib eine Nichtprimzahl p an, für die obige Gleichung gilt. (Hier sollten wir uns 3 * 11 * 17 ansehen. Warum auch immer)
Meine Lösung für den zweiten Teil wäre [mm] 2^{9} \equiv [/mm] 2 mod 9. Welche Rolle spielt 3* 11 * 17?
Danke
Gruß
Prof.
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[mm] a^p\equiva [/mm] (mod p) ist in der Literatur als (Kleiner) Fermatscher Satz bekannt. Es gibt die Eulersche Verallgemeinerung:
Ist a teilerfremd zu m, so gilt [mm] a^{\phi(m)}\equiv1 [/mm] (mod m), wobei [mm] \phi(m) [/mm] die Eulersche [mm] \phi-Funktion [/mm] ist, d.h. die Anzahl der natürlichen Zahlen kleiner oder gleich m, die zu m relativ prim sind, angibt.
Der Beweis steht z.B. in Niven/Zuckerman "Einführung in die Zahlentheorie I" S.32.
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