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| Aufgabe | | Fabian sammelt 2-Cent-, 5-Cent- und 10-Cent-Münzen. Er hat jetzt 70 Münzen, die zusammen 3,33€ wert sind. Bestimmen Sie alle möglichen Münzkombinationen mit Hilfe der Kongruenzrechnung. |
hallöchen
mein ansatz:
2-Cent-Münze = x
5-Cent-Münze = y
10-Cent-Münze = z
1.Bedingung Anzahl => x + y+ +z = 70
2.Bedingung Wert => 2x + 5y + 10z = 333
aber wenn ich die 2.bed. jetzt nutze und in kongruenz schreiben will, dann hab ich das problem, dass wenn ich (mod 2) nehme, verschwindet die 0x und die 0z und da steht:
y≡1 (Mod 2) <=> es gibt ein k€Z mit y = 1+ 2k
aber wie komme ich auf z und x??
ansatz falsch?? kommt man so überhaupt zu einer lösung oder ist mir ein fehler unterlaufen?
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Hallo hoeningerjung,
> Fabian sammelt 2-Cent-, 5-Cent- und 10-Cent-Münzen. Er hat
> jetzt 70 Münzen, die zusammen 3,33€ wert sind. Bestimmen
> Sie alle möglichen Münzkombinationen mit Hilfe der
> Kongruenzrechnung.
> hallöchen
>
>
> mein ansatz:
> 2-Cent-Münze = x
> 5-Cent-Münze = y
> 10-Cent-Münze = z
>
> 1.Bedingung Anzahl => x + y+ +z = 70
> 2.Bedingung Wert => 2x + 5y + 10z = 333
>
>
> aber wenn ich die 2.bed. jetzt nutze und in kongruenz
> schreiben will, dann hab ich das problem, dass wenn ich
> (mod 2) nehme, verschwindet die 0x und die 0z und da
> steht:
>
> y≡1 (Mod 2) <=> es gibt ein k€Z mit y = 1+ 2k
>
> aber wie komme ich auf z und x??
>
Hier kannst Du auch noch die 2. Gleichung modulo 5 betrachten.
Dann bekommst Du eine Lösung für x.
Das setzt Du dann in die Gleichung
[mm]x+y+z=70[/mm]
ein, löst nach z auf.
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> ansatz falsch?? kommt man so überhaupt zu einer lösung
> oder ist mir ein fehler unterlaufen?
>
Der Ansatz ist richtig, und eine Lösung bekommst Du auch.
Gruss
MathePower
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hey mathepower
deine idee ist gut, aber ich fürchte nicht richtig, denn ich bekomme:
y≡1 (Mod 2) <=> es gibt ein k€Z mit y = 1+ 2k
x≡4 (mod 5) <=> es gibt ein k€Z mit x = 4+ 5k
einsetzen in x+y+z=70 ergibt z = 65- 7k
alle 3 erfüllen für jegliche k die gleichung x+y+z=70, allerdings gibt es nicht EIN EINZIGES k, sodass die gleichung 2x+5y+10z=333 stimmt.
(k=6 ergibt =363 ungleich 333..... k=7 ergibt =313 ungleich 333).
also stimmt es ja nicht, denn fabian hat 70 münzen und 3,33€, also muss es mindestens eine möglichkeit geben, MINDESTENS. wie ich meinen prof kenne gibt es bestimmt noch mehr..
ich befürchte das meine 1. bed: 2x+5y+10z=333 und/oder die 2. bed: x+y+z=70 falsch sind...
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Hallo hooeningerjung,
> hey mathepower
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> deine idee ist gut, aber ich fürchte nicht richtig, denn
> ich bekomme:
>
> y≡1 (Mod 2) <=> es gibt ein k€Z mit y = 1+ 2k
> x≡4 (mod 5) <=> es gibt ein k€Z mit x = 4+ 5k
>
> einsetzen in x+y+z=70 ergibt z = 65- 7k
>
> alle 3 erfüllen für jegliche k die gleichung x+y+z=70,
> allerdings gibt es nicht EIN EINZIGES k, sodass die
> gleichung 2x+5y+10z=333 stimmt.
Nun, Du hast für x und y denselben Buchstaben verwendet.
Besser ist hier unterschiedliche Buchstaben zu verwenden:
[mm]y=1+2*k, \ k\in \IZ[/mm]
[mm]x=4+5*l, \ l\in \IZ[/mm]
Setze dies nun in die Gleichung
[mm]x+y+z=70[/mm]
ein, und löse nach z auf.
> (k=6 ergibt =363 ungleich 333..... k=7 ergibt =313
> ungleich 333).
>
>
> also stimmt es ja nicht, denn fabian hat 70 münzen und
> 3,33€, also muss es mindestens eine möglichkeit geben,
> MINDESTENS. wie ich meinen prof kenne gibt es bestimmt noch
> mehr..
Ja, es gibt mehr als nur eine Lösung.
>
> ich befürchte das meine 1. bed: 2x+5y+10z=333 und/oder die
> 2. bed: x+y+z=70 falsch sind...
Die Bedingungen sind richtig.
Gruss
MathePower
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danke!
habe jetzt:
x=4+5l
y=1+2k
z=65-2k-5l
gibt es denn jetzt einen trick um rauszubekommen welchen kombinationen von l und k zu einer gesuchten lösung führen? sonst probiert man ja ewig herum.
danke nochmal!
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Hallo hoeningerjung,
> danke!
>
> habe jetzt:
>
> x=4+5l
> y=1+2k
> z=65-2k-5l
>
> gibt es denn jetzt einen trick um rauszubekommen welchen
> kombinationen von l und k zu einer gesuchten lösung
> führen? sonst probiert man ja ewig herum.
Erstmal muß gelten:
[mm]x \ge 0, \ y \ge 0[/mm]
Außerdem muß gelten: [mm]z \ge 0[/mm]
Aus dieser Kenntnis bekommst Du dann alle möglichen Lösungen.
>
> danke nochmal!
Gruss
MathePower
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richtig, x,y,z >= 0, das stimmt.
des weiteren ist mir aufgefallen, dass l max. = 13 sein darf, wegen x=4+5l
k darf maximal 32 werden.
ziemlich viele möglichkeiten für die beiden
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Hallo hoeningerjung,
> richtig, x,y,z >= 0, das stimmt.
> des weiteren ist mir aufgefallen, dass l max. = 13 sein
> darf, wegen x=4+5l
>
> k darf maximal 32 werden.
>
> ziemlich viele möglichkeiten für die beiden
Nicht alle dieser Möglichkeiten erfüllen die 2 Bedingungen.
Gruss
MathePower
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ich habe als bedingung
x+y+z=70
2x+5y+10z=333
x=4+5l
y=1+2k
z=65-2k-5l
jetzt soll ich alle möglichen x,y,z suchen, die die bedingung erfüllen. also muss ich sämtliche k€Z ausprobieren.
gibt es da einen trick? weil z ist ja von einer kombination beider abhängig, da gibts ja zig möglichkeiten...
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Hallo hoeningerjung,
> ich habe als bedingung
> x+y+z=70
> 2x+5y+10z=333
>
> x=4+5l
> y=1+2k
> z=65-2k-5l
>
> jetzt soll ich alle möglichen x,y,z suchen, die die
> bedingung erfüllen. also muss ich sämtliche k€Z
> ausprobieren.
>
> gibt es da einen trick? weil z ist ja von einer kombination
> beider abhängig, da gibts ja zig möglichkeiten...
Die Möglichkeiten kannst Du eingrenzen.
Wir haben
[mm]0 \le x \le 161 \gdw 0 \le l \le 31[/mm]
[mm]0 \le y \le 66 \gdw 0 \le k \le 32[/mm]
[mm]0 \le z \le 33[/mm]
Für x,y ist nichts mehr zu machen.
Hier ist die Gleichung für z zu untersuchen.
Daher muß [mm]0 \le 65-2k-5l \le 33[/mm] erfüllt sein.
Löse hier also
[mm]2k+5l=65-u, \ 0 \le u \le 33[/mm]
für ganzzahlige k und l.
Gruss
MathePower
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ach da bin ich ja ewig dran
ein punkt für die konkreten lösungen kann ich mir schenken für den aufwand.
danke trotzdem
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