Konfidenzintervalle < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 15.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] eine Zufallsstichprobe. Bestimmen Sie
a) ein asymptotisches Konfidenzintervall zum Niveau [mm] \gamma \in [/mm] [0, 1] für den Parameter [mm] \Theta, [/mm] falls [mm] X_i \in [/mm] U(0, [mm] \Theta), [/mm] i = 1, ..., n, [mm] \Theta [/mm] > 0,
b) ein asymptotisches Konfidenzintervall zum Niveau [mm] \gamma \in [/mm] [0, 1] für den Parameter [mm] \Theta, [/mm] falls [mm] X_i \in Exp(\Theta), [/mm] i = 1, ..., n, [mm] \Theta [/mm] > 0,
c) Zeigen Sie, dass die Statistik [mm] T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) [/mm] = [mm] 2n\Theta \overline X_n [/mm] einer [mm] \chi^2_{2n} [/mm] - Verteilung genügt und bestimmen Sie damit ein exaktes Konfidenzintervall zum Niveau [mm] \gamma \in [/mm] [0, 1] für den Parameter [mm] \Theta, [/mm] falls [mm] X_i \in Exp(\Theta), [/mm] i = 1, ..., n, [mm] \Theta [/mm] > 0 |
Hallo zusammen,
einmal mehr bräuchte ich einen Gedankenanstoß für die Aufgabe a).
Als Ansatz habe ich ![[]](/images/popup.gif) hier die Formeln unmittelbar unter Formel (64) für [mm] \overline \Theta [/mm] und [mm] \underline \Theta [/mm] .... jedoch bin ich mir bei den einzugebenden Parametern nicht sicher! n ist schließlich undefiniert und nicht klar, welches Quantil...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 15.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
das Beispiel, auf das du dich beziehst, behandelt den Fall der Poisson-Verteilung. Fuer die Verteilung in Teil a) lautet der Ansatz
[mm] $\lim_{n\to\infty}P\left(-z_{1-\alpha/2}\le\sqrt{n}\dfrac{\bar X-\operatorname{E}[X]}{\sqrt{\operatorname{Var}[X]}}\le z_{1-\alpha/2}\right)=\lim_{n\to\infty} P\left(-z_{1-\alpha/2}\le\sqrt{n}\dfrac{\bar X-\theta/2}{\sqrt{12\theta^2}}\le z_{1-\alpha/2}\right)=1-\alpha$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 So 15.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Vielen Dank soweit!
Wie komme ich zum 0,975-Quantil der Gleichverteilung?
Muss ich selbst die Quantilfunktion aufstellen? Bei sämtlichen Verteilungen kann ich die Quantile aus Tabellen entnehmen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 So 15.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank soweit!
>
> Wie komme ich zum 0,975-Quantil der Gleichverteilung?
> Muss ich selbst die Quantilfunktion aufstellen? Bei
> sämtlichen Verteilungen kann ich die Quantile aus Tabellen
> entnehmen...
[mm] $z_{1-\alpha/2}$ [/mm] ist das [mm] $(1-\alpha)\cdot100$%-Quantil [/mm] der *Standardnormalverteilung*...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Mo 16.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Vielen Dank soweit!
Der Ansatz leuchtet mir ein - unser Intervall soll so bestimmt werden, dass [mm] \Theta [/mm] mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \gamma [/mm] = 1 - [mm] \alpha [/mm] eben drin ist.
Soll ich nun die im Argument enthaltene Ungleichung nach [mm] \Theta [/mm] auflösen, oder wie komm ich zum Ziel?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mo 16.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Soll ich nun die im Argument enthaltene Ungleichung nach
> [mm]\Theta[/mm] auflösen,
Ja.
> oder wie komm ich zum Ziel?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 16.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Ungleichungen sind nicht meine Stärke - ich komme als Lösung auf
[mm] \bruch{\wurzel{n}\cdot \overline{X}}{\bruch{\wurzel{n}}{2} + \wurzel{12}z_{1-\bruch{\alpha}{2}}} \le \Theta \le \bruch{\wurzel{n}\cdot \overline{X}}{\bruch{\wurzel{n}}{2} - \wurzel{12}z_{1-\bruch{\alpha}{2}}} [/mm]
Klingt das plausibel?
Dann mach ich mich mal nach dem selben Schema an die (b)....
bzw. hierzu gleich mal die Frage,
stimmt hier dann der Ansatz
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(-z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\le \wurzel{n} \bruch{\overline{X} - \bruch{1}{\Theta}}{\wurzel{\bruch{1}{\Theta^2}}} \le z_{1-\bruch{\alpha}{2}}) [/mm] = $1- [mm] \alpha$
[/mm]
?
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Es wird ja! 
