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| Aufgabe | Zum Betrieb von Laptops wurden Lebensdauern für eine bestimme Sorte Batterien gemessen. Dabei wurden nur die Zeiten berücksichtigt, in denen tatsächlich Strom entnommen wurde. Es ergaben sich folgende 15 Messwerte (in Minuten):
233, 244, 246, 252, 259, 259, 260, 265, 266, 269, 272, 277, 282, 290, 302
Es wird angenommen, dass die Messwerte [mm] x_1,...,x_{15} [/mm] Realisierungen von unabhängigen [mm] N(\mu, \sigma^2)-verteilten [/mm] Zufallsvariablen sind.
a) Bestimmen Sie einen konkreten Intervallschätzer zum Niveau 1- [mm] \alpha= [/mm] 0.95 für [mm] \sigma^2.
[/mm]
b) Bestimmen Sie einen konkreten Intervallschätzer zum Niveau 1- [mm] \alpha [/mm] = 0.95 für [mm] \mu [/mm] unter der Voraussetzung [mm] \sigma^2=325.
[/mm]
c) Welches Konfidenzniveau 1- [mm] \alpha [/mm] ist höchstens zu wählen, damit das Konfidenzintervall aus Teil b) höchstens die Länge 10 (Minuten) hat?
Hinweis: Für die obige Messreihe ergibt sich [mm] \summe_{i=1}^{15} (x_i [/mm] - [mm] \overline{x})^2=4552. [/mm] |
Hallo!
Ich habe das mal durchgerechnet und komme in c) dann auf Werte die so, denke ich, nicht stimmen können.
Könnte da mal jemand drüber schauen, wo mein Fehler ist?
a) Formel:
[mm] KI=[\bruch{(n-1)\sigma^2}{\chi_{(1-\bruch{\alpha}{2},n-1)}^2}, \bruch{(n-1)\sigma^2}{\chi_{(\bruch{\alpha}{2},n-1)}^2}] [/mm]
mit
[mm] \sigma^2= \bruch{1}{n-1} \summe_{k=1}^n (x_k- \overline{x_n})^2 [/mm]
hier ist [mm] \alpha [/mm] = 1-0.95 = 0.05, n=15, [mm] \sigma^2= \bruch{1}{14} [/mm] 4552
und damit
[mm] KI=[\bruch{14 * \bruch{1}{14} 4552}{\chi_{(1-\bruch{0.05}{2},14)}^2}, \bruch{14\bruch{1}{14} 4552}{\chi_{(\bruch{0.05}{2},14)}^2}] \approx [174.27, 808.53] [/mm]
b) Formel:
[mm] KI=[\overline{x_n}-z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \bruch{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x_n}+z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \bruch{\sigma}{\sqrt{n}}] [/mm]
mit
[mm] \overline{x_n}= \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^n x_i [/mm]
hier ist [mm] \overline{x_{15}}= \bruch{1}{15}*3975=265
[/mm]
Also
[mm] KI=[265-z_{0.975} \sqrt{\bruch{325}{15}}, 265+z_{0.975} \sqrt{\bruch{325}{15}}] \approx [261.11, 268.89] [/mm]
c)
Länge = [mm] 265+z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \sqrt{\bruch{325}{15}}-(265-z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \sqrt{\bruch{325}{15}}) = 2 z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \sqrt{\bruch{325}{15}} [/mm]
und das soll kleiner gleich 10 sein.
Aber dann kommt bei mir raus, dass [mm] z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \le 1.0742 [/mm] und ich dachte, dass die Ergebnisse der Normalverteilung immer kleiner 1 wären.
Also denke ich falsch und/oder hab was falsch gemacht.
Könnte mir hier jemand helfen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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> Hinweis: Für die obige Messreihe ergibt sich
> [mm]\summe_{i=1}^{15} (x_i[/mm] - [mm]\overline{x})^2=4552.[/mm]
Zuerst einmal: der Hinweis ist falsch!
[mm]\summe_{i=1}^{15} (x_i - \overline{x})^2=4584.9333[/mm]
> [mm]KI=[\bruch{14 * \bruch{1}{14} 4552}{\chi_{(1-\bruch{0.05}{2},14)}^2}, \bruch{14\bruch{1}{14} 4552}{\chi_{(\bruch{0.05}{2},14)}^2}] \approx [174.27, 808.53][/mm]
Korrekt ist [mm][175.54, 814.56][/mm], aber diese Ungenauigkeit kommt vom falschen Hinweis.
> b) Formel:
> ...
> Also
> [mm]KI=[265-z_{0.975} \sqrt{\bruch{325}{15}}, 265+z_{0.975} \sqrt{\bruch{325}{15}}] \approx [261.11, 268.89][/mm]
Sieht für mich gut aus.
> c)
> Länge = [mm]265+z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \sqrt{\bruch{325}{15}}-(265-z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \sqrt{\bruch{325}{15}}) = 2 z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \sqrt{\bruch{325}{15}}[/mm]
>
> und das soll kleiner gleich 10 sein.
> Aber dann kommt bei mir raus, dass [mm]z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \le 1.0742[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und ich dachte, dass die Ergebnisse der Normalverteilung
> immer kleiner 1 wären.
Nein, das passt im Prinzip schon. $z_{1-\bruch{\alpha}{2}}$ ist das $(1-\bruch{\alpha}{2}})$-Quantil der Standardnormalverteilung, dieses kann beliebig gross sein.
Du musst jetzt einfach [mm](1-\bruch{\alpha}{2}})[/mm] berechnen, oder ablesen z.B. aus ![[]](/images/popup.gif) https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung.
Allerdings hast Du Dich verrechnet, Du hast oben vergessen, durch 2 zu dividieren, in Wirklichkeit muss [mm]z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \le 0.53709[/mm] sein ;)
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Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort!
Allerdings komme ich nicht auf dieses Ergebnis im Hinweis.
Ich erhalte [mm] \overline{x}=265
[/mm]
und dann alles zusammen gerechnet ergibt bei mir 4552! :-/
Wo hänge ich?
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Also ich rechne (in Python):
a=np.array([233, 244, 246, 252, 259, 259, 260, 265, 266, 269, 272, 277, 282, 290, 302])
ma = np.mean(a)
sa = sum((a-ma)**2)
und kriege ma=265.06666666666666 und sa=4584.9333333333325
Hast Du die Zahlen in der Aufgabenstellung richtig abgetippt?
Gruss,
Hanspeter
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Ach verdammt!! Ich hab mich vertippt: ich habe 282 statt 281 geschrieben -.-
Tut mir total Leid!!
Also ist der erste Teil so richtig,
aber dann bei c):
Du hast geschrieben, dass ich mich verrechnet habe, aber es soll ja folgendes gelten:
[mm] 2 z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \sqrt{\bruch{325}{15}} \le 10 [/mm]
das heißt:
[mm] z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \sqrt{\bruch{325}{15}} \le 5 [/mm]
[mm] z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \le 5*\sqrt{\bruch{15}{325}} [/mm]
und das ist:
[mm] z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \le 1.07 [/mm]
oder nicht?
Und in dem Wikipedia-Artikel, den du mir geschickt hast, geht die Tabelle nur bis 0.99998 (als Ergebnisse von [mm] \phi) [/mm] und da steht, dass [mm] \phi(z) \approx [/mm] 1, wenn z>4.09. Das heißt hier ja, dass ich nur sagen kann, dass [mm] 1-\bruch{\alpha}{2}>4.09. [/mm] Oder verstehe ich das falsch?
Kannst du mir nochmal helfen? Das wäre super!
Grüßle, Lily
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Hallo Lily,
es gilt: $ [mm] KI=[\overline{x_n}-z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \bruch{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x_n}+z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \bruch{\sigma}{\sqrt{n}}] [/mm] $
Als ist die Breite des Konfidenzintervalls [mm] $2z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \bruch{\sigma}{\sqrt{n}}=10$.
[/mm]
Folglich ist [mm] $z_{1-\bruch{\alpha}{2}} [/mm] = [mm] 5\bruch{\sqrt{n}}{\sigma}=5\cdot{}\sqrt{\bruch{15}{325}}=1.0742$, [/mm] wie Du schreibst.
Nun: was bedeutet dieses $z$? Das ist das [mm] $1-\bruch{\alpha}{2}$-Quantil [/mm] der Standardnormalverteilung. Du musst nun aus der Tabelle herausfinden, welchen Wert die Kumulative Standardnormalverteilung [mm] $\Phi(z)$ [/mm] beim Wert $z=1.0742$ erreicht.
Dann ist [mm] $1-\bruch{\alpha}{2}=\Phi(1.0742)$.
[/mm]
D.h. Du hast versucht, die Umkehrfunktion von dem abzulesen, was Du brauchst.
Macht es dies klarer?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Do 08.01.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Oh ja, vielen Dank! 
Ich dachte irgendwie, dass das z eben das ist, was bei der Verteilung herauskommen muss! Wie blöd! So ist das natürlich ein Unterschied!
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