Kompositionsreihen endlicher G < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Fr 30.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Gibt es ein Gegenbeispiel für zwei endliche Gruppen mit gleich viel Elementen die eine Kompositionsreihe haben die nicht äquivalent sind?
z.B [mm] (\mathbb{Z}_4, [/mm] +) und [mm] (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2,+) [/mm] haben äquivalene Kompositionsreihen( Anzahl der Terme stimmt überein und Faktorgruppen zueinander isomorph) |
Hallo,
Nach Satz in der Vorlesung hat eine endliche Gruppe immer eine Kompositionsreihe. Daran scheitert es also nicht.
Jordan-Hölder sagt ja nur etwas über die Kompositionsreihen einer(derselben) Gruppe etwas aus. Aber über zwei Gruppen der gleichen Anzahl von Elementen habe ich nichts gefunden. ALso muss es falsch sein oder?
Oder gilt das nur für abelsche Gruppen?
LG,
sissi
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Versuch mal die alternierende Gruppe [mm] $A_5$. [/mm] Wenn du die Reihe dieser Gruppe hast such dir eine andere, die eine deutlich andere Reihe hat (das ist recht leicht^^).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Fr 30.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo Shadowmaster,
Vielen Dank!
[mm] A_5 [/mm] ist eine einfache Gruppe also bestehst seine Kompositionsreihe aus [mm] A_5 [/mm] und dem neutralen Element.
Als zweite Gruppe meinst du sicherlich [mm] \mathbb{Z}_{120} [/mm] und dafür 120=2*2*2*3*5 hätte ich die Kompositionsreihe:
[mm] \mathbb{Z}_{120} \trianglerighteq 2\mathbb{Z}/120\mathbb{Z} \trianglerighteq 2*2\mathbb{Z}/120\mathbb{Z} \trianglerighteq 2*2*3\mathbb{Z}/120\mathbb{Z} \trianglerighteq \{0\}
[/mm]
Hast du auch für zwei abelsche Gruppen mit gleicher Gruppenordnung ein Gegenbeispiel?
LG,
sissi
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Ich glaube für Abelsche wird das nichts:
Die Faktorgruppen sind im einfache, Abelsche Gruppen (wenn die Ausgangsgruppe Abelsch ist). Die einzigen einfachen, Abelschen Gruppen sind [mm] $C_p$ [/mm] für $p$ Primzahl. Daher vermute ich für Abelsche Gruppen ist die Reihe (bis auf Reihenfolge) bereits durch die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung eindeutig bestimmt und daher wird man hier keine Gegenbeispiele bekommen.
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