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Forum "Lineare Abbildungen" - Komposition linearer Abbildung
Komposition linearer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komposition linearer Abbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:21 Mi 09.12.2009
Autor: Doemmi

Aufgabe
Für einen Körper K betrachte man [mm] K^{n} [/mm] als K-Vektorraum. Es bezeichne

[mm] p_{i} [/mm] : [mm] K^{n} \to [/mm] K, [mm] (\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) \mapsto \alpha_{i} [/mm]

für i = 1, ... , n, die Projektion auf die i-te Komponente. Man zeige:

(i) Die Abbildungen [mm] p_{i} [/mm] sind K-linear

(ii) Eine Abbildung f : V [mm] \to K^{n} [/mm] von einem K-Vektorraum V nach [mm] K^{n} [/mm] ist genau dann K-linear, wenn alle Kompositionen [mm] p_{i} \circ [/mm] f K-linear sind.

(i) habe ich bereits gezeigt, sowie die Hinrichtung bei (ii)

Ich weiß also, dass die [mm] p_{i} [/mm] linear sind und dass [mm] p_{i} \circ [/mm] f linear ist.
Daraus will ich nun folgern, dass f linear ist, was mir nicht so leicht fällt.

zz. [mm] p_{i} \circ [/mm] f linear [mm] \Rightarrow [/mm] f linear

Seien [mm] v_{1}, v_{2} \in [/mm] V

Es gilt: [mm] p_{i}(f(v_{1}) [/mm] + [mm] f(v_{2})) [/mm] = [mm] p_{i}(f(v_{1})) [/mm] + [mm] p_{i}(f(v_{2})) [/mm]

Sei [mm] f(v_{1}) [/mm] = [mm] (\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) \in K^{n} [/mm]
      [mm] f(v_{2}) [/mm] = [mm] (\beta_{1}, [/mm] ... , [mm] \beta_{n}) \in K^{n} [/mm]

Dann

[mm] p_{i}(f(v_{1}) [/mm] + [mm] f(v_{2})) [/mm] =

[mm] p_{i}((\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) [/mm] + [mm] (\beta_{1}, [/mm] ... , [mm] \beta_{n})) [/mm] =

[mm] p_{i}(\alpha_{1} [/mm] + [mm] \beta_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n} [/mm] + [mm] \beta_{n}) [/mm] =

[mm] p_{i}(f(v_{1} [/mm] + [mm] v_{2})) [/mm]

[mm] \Rightarrow f(v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}) [/mm] = [mm] f(v_{1}) [/mm] + [mm] f(v_{2}) [/mm]


Ich habe so ein dumpfes Gefühl, dass das so nicht ganz hinhaut, wie dann?
Mit der skalaren Multiplikation habe ich das ähnlich gemacht.

LG Tommy

        
Bezug
Komposition linearer Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:20 Do 10.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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