Komposition,Äquivalenzrelation < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 11.11.2009 | | Autor: | marcello |
| Aufgabe | Seien R und S Äquivalenzrelationen über A. Zeigen Sie:
(a) Wenn R [mm] \circ [/mm] S = S [mm] \circ [/mm] R, dann ist R [mm] \circ [/mm] S eine Äquivalenzrelation über a.
(b) Wenn R [mm] \circ [/mm] S eine Äquivalenzrelation über A ist, dann gilt R [mm] \circ [/mm] S = S [mm] \circ [/mm] R. |
Hallo,
zunächst einmal hab ich eine Frage zu der Herangehensweise an die Aufgabe. Die sind ja alle gleich strukturiert ("Wenn..., dann..."). Was muss ich da wie zeigen? Ist das, was nach dem "Wenn" kommt, meine Voraussetzung für den Beweis und das nach dem "dann" die zu beweisende Behauptung, oder umgekehrt?
Dann hab ich ziemliche Probleme mit der Thematik an sich. Ich bin eher einer derjenigen, die es etwas anschaulich brauchen. Das ist natürlich bei einer Komposition von Äquivalenzrelationen ohne konkrete Mengen ziemlich schwierig... :)
Bei (a) würde ich so herangehen: Ich nehme das R [mm] \circ [/mm] S = S [mm] \circ [/mm] R als Vorraussetzung was dann meine Behauptung R [mm] \circ [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] A impliziert. Dann würde ich also versuchen R [mm] \circ [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] A zu beweisen. Oder sollte es umgekehrt passieren, d.h. dass ich R [mm] \circ [/mm] S =S [mm] \circ [/mm] R beweise und dann automatisch [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] A annehmen kann.
An den Beweis will ich noch gar nicht denken... :(
Danke für Eure Unterstützung!!!
Beste Grüße,
marcello
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:44 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo marcello!
> Seien R und S Äquivalenzrelationen über A. Zeigen Sie:
> (a) Wenn R [mm]\circ[/mm] S = S [mm]\circ[/mm] R, dann ist R [mm]\circ[/mm] S eine
> Äquivalenzrelation über a.
> (b) Wenn R [mm]\circ[/mm] S eine Äquivalenzrelation über A ist,
> dann gilt R [mm]\circ[/mm] S = S [mm]\circ[/mm] R.
>
> zunächst einmal hab ich eine Frage zu der Herangehensweise
> an die Aufgabe. Die sind ja alle gleich strukturiert
> ("Wenn..., dann..."). Was muss ich da wie zeigen? Ist das,
> was nach dem "Wenn" kommt, meine Voraussetzung für den
> Beweis und das nach dem "dann" die zu beweisende
> Behauptung, oder umgekehrt?
Genau so ist es: Wenn da steht "Wenn $A$ dann $B$" nimmst du an, dass $A$ gilt, und zeigst, dass daraus $B$ folgt.
> Dann hab ich ziemliche Probleme mit der Thematik an sich.
> Ich bin eher einer derjenigen, die es etwas anschaulich
> brauchen. Das ist natürlich bei einer Komposition von
> Äquivalenzrelationen ohne konkrete Mengen ziemlich
> schwierig... :)
> Bei (a) würde ich so herangehen: Ich nehme das R [mm]\circ[/mm] S
> = S [mm]\circ[/mm] R als Vorraussetzung
Genau.
> was dann meine Behauptung R [mm]\circ[/mm] S [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\times[/mm] A
> impliziert.
Moment! Das ist nicht die Behauptung! Die Behauptung ist, dass $R [mm] \circ [/mm] S$ eine Aequivalenzrelation ist, also reflexiv, symmetrisch und transitiv ist!
Dass $R [mm] \circ [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] A$ ist folgt aus der Definition von $R [mm] \circ [/mm] S$.
> Dann würde ich
> also versuchen R [mm]\circ[/mm] S [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\times[/mm] A zu beweisen.
Wie schon gesagt: das brauchst du nicht zu zeigen. Aber schon, dass $R [mm] \circ [/mm] S$ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
> Oder sollte es umgekehrt passieren, d.h. dass ich R [mm]\circ[/mm] S
> =S [mm]\circ[/mm] R beweise und dann automatisch [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\times[/mm]
> A annehmen kann.
Nein.
LG Felix
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