Komponenten-Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Do 27.09.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | [mm] \phi(\vec{r})=\bruch{1}{|\vec{r}|^3}
[/mm]
[mm] \phi_{\mu\nu}(\vec{r})=\bruch{\partial^2\phi(\vec{r})}{\partial r_{\mu}\partial r_{\nu}} [/mm] |
Hallo Community,
ich weiss nicht, wie ich das Potential [mm] $\phi(\vec{r})$ [/mm] nach den Komponenten [mm] $r_{\mu}$ [/mm] und [mm] $r_{\nu}$ [/mm] ableiten soll, wobei die Indizes [mm] $\mu,\nu=x,y$ [/mm] durchlaufen.
Wie macht man sowas? Kann mir da einer bitte helfen?
Danke!
Gruss beta
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Hallo!
Das geht am besten nach der Kettenregel, also innere Ableitung mal äußere.
Mit [mm] $r=|\vec{r}|=\wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] kannst du schreiben:
[mm] \phi=\frac{1}{r^3}
[/mm]
Und nun mal die Abeitung nach x:
[mm] $\frac{d}{dx}\phi=\left(\frac{d}{dx}r\right) *\left(\frac{d}{dr}\frac{1}{r^3}\right)$
[/mm]
Links mußt du nun noch r einsetzen, das rechte kannst du ja direkt ausrechnen.
[mm] $\frac{d}{dx}\phi=\left(\frac{d}{dx}\wurzel{x^2+y^2}\right) *\left(\frac{d}{dr}\frac{1}{r^3}\right)$
[/mm]
Nach der Berechnung der linken Ableitung kannst du da ein 1/r abspalten und mit dem [mm] 1/r^4 [/mm] der rechten Ableitung zusammenfassen.
Für y gilt das gleiche.
Kommst du nun selber mit der zweiten Ableitung klar? Da gibts das ganze nochmal, allerdings kommt die Produktregel dann auch noch mit rein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 27.09.2007 | | Autor: | beta81 |
hi, danke fuer die schnelle antwort!
ich hab jetzt mal die erste und zweite ableitung gerechnet. Fuer die erste gilt:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}\left(\bruch{1}{\left(x^2+y^2\right)^{3/2}}\right)=-\bruch{3x}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{1}{\left(x^2+y^2\right)^{3/2}}\right)=-\bruch{3y}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}}
[/mm]
und fuer die zweite ableitung:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}\left(-\bruch{3x}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}}\right)=\bruch{15x^2}{\left(x^2+y^2\right)^{7/2}}-\bruch{3}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}\left(-\bruch{3x}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}}\right)=\bruch{15xy}{\left(x^2+y^2\right)^{7/2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}\left(-\bruch{3y}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}}\right)=\bruch{15xy}{\left(x^2+y^2\right)^{7/2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}\left(-\bruch{3y}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}}\right)=\bruch{15y^2}{\left(x^2+y^2\right)^{7/2}}-\bruch{3}{\left(x^2+y^2\right)^{5/2}}
[/mm]
wie kann ich das nun zusammenfassen? Wie schreib ich das kompakt als
[mm] \bruch{\partial \phi(\vec{r})}{\partial r_{\mu}\partial r_{\nu}}= [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 27.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
du solltest Event_Horizons Rat folgen und das r stehen lassen.
r ist ja
[mm]r=\left(\summe_{\kappa} r_\kappa^2\right)^{1/2} \Longrightarrow \bruch{\partial r}{\partial r_\mu} = r_\mu\left(\summe_{\kappa} r_\kappa^2\right)^{-1/2} = \bruch{r_\mu}{r}[/mm]
Also ist
[mm]\bruch{\partial \phi}{\partial r_\mu} = \bruch{d \phi}{d r} * \bruch{\partial r}{\partial r_\mu} = -\bruch{3}{r^4} * \bruch{r_\mu}{r} = - 3 \bruch{r_\mu}{r^5}[/mm]
Die zweite Ableitung ist dann
[mm]\bruch{\partial^2 \phi}{\partial r_\mu\partial r_\nu} = - 3\bruch{\partial}{\partial r_\nu} \bruch{r_\mu}{r^5} = -3\bruch{\delta_{\mu\nu}r^5-r_\mu * 5 r^4 *r_\nu/r}{r^{10}} = \bruch{15r_\mu r_\nu-3\delta_{\mu\nu}r^2}{r^7}
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Do 27.09.2007 | | Autor: | beta81 |
Danke! Hab's verstanden!
Gruss beta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Fr 28.09.2007 | | Autor: | beta81 |
Hallo,
da [mm] \delta_{\mu\nu} [/mm] die 2x2-einheitsmatrix repraesentiert, wenn [mm] \mu,\nu=x,y [/mm] durchlaufen, muss ja [mm] r_{\mu}r_{\nu} [/mm] auch eine 2x2-matrix sein!
Wisst ihr wie man diese explizit ausschreiben kann? sie sollte meiner meinung nach die komponentnen [mm] x^2, [/mm] $xy$, $yx$ und [mm] y^2 [/mm] beinhalten, wobei bei den gemischten termen die einheitsmatrix gleich 1 ist und bei den anderen beiden verschwindet.
Danke!
Gruss beta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du das als durch eine Matrix repräsentierenwolltest, dann müsste so aussehen, wiedu gesagt hast.
Natürlich hat dann die Matrix rein darstellenden Charakter und man darf nicht darauf kommen z.B. das Kronecker-Delta mit deinem Produkt zu multiplizieren, indem man die entsprechenden Matritzen multipliziert und das dann als Matrix des Produktes auffasst. Die Matrix des Produktes musst du ja durch komponentenweises multiplizieren erhalten. Die Multiplikation von Matritzen ist ja im Sinne der Komposition linearer Abbildungen anders definiert.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Fr 28.09.2007 | | Autor: | beta81 |
Danke!
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