Komplizierte Determinante einer 4x4 Matrix mit 4 Variablen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich habe folgende Matrix:
[mm]
\begin{pmatrix}
a & -b & -c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & d & a & -b \\
d & -c & b & a
\end{pmatrix}
[/mm]
Ich soll von der Matrix die Determinante bestimmen. Ich weiß, wie man im allgemeinen Determinaten bestimmt.
Nur hier bekomme ich immer nur ganz große Terme raus.
Ich habs versucht auf Normalform zu bringen: Auch so ein langer Term.
Ich habs nach Sarrus probiert: Genauso lang.
Jetzt meine Frage: Gibts es wohl einen kürzeren Weg, den ich noch nicht gesehen habe? Oder muss ich tatsächlich einen meiner Wege zu Ende führen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stiffmaster
wenn du die Matrix so betrachtest, dann sieht die doch verdächtig regelmässig aus, zudem noch mit $+$ und $-$, was geradezu animiert, vorher noch gewisse Operationen durchzuführen!
Vielversprechend sieht folgendes aus:
Man weiss ja, dass die Matrix $A$ und ihre Transponierte die gleiche Determinante haben:
$Det(A) = [mm] Det(A^{T})$
[/mm]
Im weiteren gilt:
$Det(A*B) = Det(A)*Det(B)$
Berechne doch einfach mal mit deiner Matrix des Produkt
[mm] $A*A^{T}$ [/mm]
und wende dann die obigen Erkenntnisse an. Du wirst staunen... 
Mit lieben Grüssen
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Natürlich.
So ist es dann wirklich sehr leicht. Muss man nur erst drauf kommen.
Hab dann als Ergebnis (a²+b²+c²+d²)² rausbekommen. Sollte auch stimmen.
Also vielen Dank!!!
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