Komplexwertige Funktion < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Do 02.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | Schreiben Sie zu der komplexwertigen Funktion [mm] $f(t)=e^{(3+i)t}$ [/mm] den Realteil $Re(f(t))$, den Imaginärteil [mm] Im(f(t)) [/mm] und den Betrag $|f(t)|$ als Funktionen in $t$ auf. |
Wenn ich mich nicht irre, dann handelt es sich bei einer komplexwertigen Funktion um eine komplexe Zahl, die von einem reellen Parameter abhängig ist.
Allerdings kenne ich diese nur in dieser Form:
$z(t)=x(t)+i*y(t)$
Also ist der Realteil und der Imaginärteil eine Funktion in Abhängigkeit von $t$ .
Deswegen habe ich jetzt einfach gedacht, dass ich die Polarform der komplexwertigen Funktion einfach in die kartesische Form bringe und somit Realteil und Imaginärteil einfach ablesen kann.
Nun das stellt sich ja schwieriger raus als erwartet.
[mm] $z(t)=e^{(3+i)t}=1*e^{(3+i)t}$
[/mm]
$r=1$
$ x = r * [mm] cos(\varphi)$
[/mm]
So und genau jetzt stoße ich auf ein Problem.
Sonst konnte man in der Polarform das [mm] $\varphi$ [/mm] einfach ablesen. Diesmal geht das ja nicht so einfach.
$z(t) = 1 * [mm] e^{(3+i)t} [/mm] = 1 * [mm] e^{3t + it}$
[/mm]
Ja und hier habe ich leider keinerlei Ahnung wie ich an das [mm] $\varphi$ [/mm] komme.
Ich bin über jeden Tipp und jede Anregung dankbar.
lg Benny
|
|
| |
|
Huhu,
$r=1 ist falsch$.
Benutze die Potenzgesetze um es auf die Form [mm] $r(t)*e^{it}$ [/mm] zu bringen, dann kannst du r und [mm] \varphi [/mm] ablesen.
Tip: Es gilt [mm] $\varphi [/mm] = t$
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Do 02.09.2010 | | Autor: | bOernY |
So diesmal habe ich es hoffentlich richtig gemacht.
[mm] $f(t)=e^{3+i)*t}=e^{3t+3i}=e^{3t}+e^{3i}$
[/mm]
[mm] $r=e^{3t}$
[/mm]
[mm] $\varphi=3$
[/mm]
[mm] $x=r*cos(\varphi)$
[/mm]
[mm] $x=e^{3t}*cos(3)$
[/mm]
[mm] $y=r*sin(\varphi)$
[/mm]
[mm] $y=e^{3t}*sin(3)$
[/mm]
Jetzt noch der Betrag:
[mm] $\left| f(t) \right|= \wurzel{(e^{3t}*(sin(3))^2 + (e^{3t}*(cos(3))^2}$
[/mm]
[mm] $\left| f(t) \right|= \wurzel{e^{6t}*(sin(3))^2 + e^{6t}*(cos(3))^2}$
[/mm]
[mm] $\left| f(t) \right|= \wurzel{e^{6t}*((sin(3))^2 + (cos(3))^2)}$
[/mm]
[mm] $\left| f(t) \right|= \wurzel{e^{6t}}*\wurzel{(sin(3))^2 + (cos(3))^2)}$
[/mm]
[mm] $\left| f(t) \right|= e^{3t} [/mm] * 1 = [mm] e^{3t} [/mm] $
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
> So diesmal habe ich es hoffentlich richtig gemacht.
Öhm nein.
>
> [mm]f(t)=e^{3+i)*t}=e^{3t+3i}=e^{3t}+e^{3i}[/mm]
Hier hast du die ![[]](/images/popup.gif) Potenzgesetze falsch angewendet und falsch ausmultipliziert ..... damit ist dann alles alles andere auch falsch.
Also nochmal sauber ausmultiplizieren (was ist $(3+i)*t$?), Potenzgesetze sauber anwenden und dann nochmal von vorn 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 03.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Oh du heilige S*******...
Sorry das war wohl doch ein bisschen spät und ein Bierchen zu viel. Wie peinlich :-(
Also nochmal mit ein bisschen mehr Verstand:
$ [mm] f(t)=e^{(3+i)\cdot{}t}=e^{3t+it}=e^{3t}*e^{it} [/mm] $
$ [mm] r=e^{3t} [/mm] $
$ [mm] \varphi=t [/mm] $
$ [mm] x=r\cdot{}cos(\varphi) [/mm] $
$ [mm] x=e^{3t}\cdot{}cos(t) [/mm] $
$ [mm] y=r\cdot{}sin(\varphi) [/mm] $
$ [mm] y=e^{3t}\cdot{}sin(t) [/mm] $
Jetzt noch der Betrag:
$ [mm] \left| f(t) \right|= \wurzel{(e^{3t}\cdot{}(sin(t))^2 + (e^{3t}\cdot{}(cos(t))^2} [/mm] $
$ [mm] \left| f(t) \right|= \wurzel{e^{6t}\cdot{}(sin(t))^2 + e^{6t}\cdot{}(cos(t))^2} [/mm] $
$ [mm] \left| f(t) \right|= \wurzel{e^{6t}\cdot{}((sin(t))^2 + (cos(t))^2)} [/mm] $
$ [mm] \left| f(t) \right|= \wurzel{e^{6t}}\cdot{}\wurzel{(sin(t))^2 + (cos(t))^2)} [/mm] $
$ [mm] \left| f(t) \right|= e^{3t} \cdot{} [/mm] 1 = [mm] e^{3t} [/mm] $
Jetzt alles in Ordnung?
|
|
|
| |
|
Hiho,
noch als Ergänzung: Den Betrag hättest du nicht so kompliziert ausrechnen müssen, es gilt nämlich:
[mm] $|re^{i\varphi}| [/mm] = |r|$
D.h. wenn du r kennst, kennst du auch den Betrag der komplexen Zahl.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
src="/editor/extrafiles/images/ok.gif" _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/ok.gif">
