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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Mi 09.02.2005 | | Autor: | croy |
Hallo,
ich bin durch Zufall auf dieses Forum hier gestoßen und wäre für Hilfe von Euch sehr dankbar. Flogende Aufgabe bereitet mir Probleme:
Welches Rechteck mit dem Umfang 30cm hat die kürzeste Diagonale?
Ich hab leider überhaupt keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Bis jetzt habe ich nur die Skizze anfertigen können  . Wär klasse, wenn ihr mir weiterhelfen würdet. Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo croy,
> Welches Rechteck mit dem Umfang 30cm hat die kürzeste Diagonale? Bis jetzt habe ich nur die Skizze anfertigen können .
Es gilt: [m]U_{{\text{Rechteck}}} : = 2(a + b)[/m]. Was wissen wir über die Diagonale eines Rechtecks? Für sie gilt: [m]d_{{\text{Rechteck}}} ^2 : = a^2 + b^2[/m]. Jetzt setzen wir diese Formel in die Andere ein:
[m]\begin{gathered}
U_{{\text{Rechteck}}} = 2\left( {a + b} \right) \Rightarrow U_{{\text{Rechteck}}} ^2 = 4\left( {a + b} \right)^2 = 4\left( {a^2 + 2ab + b^2 } \right) \hfill \\
= 4\left( {d_{{\text{Rechteck}}} ^2 + 2ab} \right) \Leftrightarrow \frac{{U_{{\text{Rechteck}}}^2 }}
{4} - 2ab = d_{{\text{Rechteck}}} ^2 \hfill \\
\Rightarrow \frac{{U_{{\text{Rechteck}}}^2 }}
{4} - 2\frac{{U_{{\text{Rechteck}}} - 2b}}
{2}b = d_{{\text{Rechteck}}} ^2 \hfill \\
\Leftrightarrow \frac{{U_{{\text{Rechteck}}}^2 }}
{4} - bU_{{\text{Rechteck}}} + 2b^2 = d_{{\text{Rechteck}}} ^2 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Da wir den kürzesten Wert für die Diagonale finden wollen, ist dies ein Extremwertproblem und wir können [mm] $d\!$ [/mm] in eine eindeutige Beziehung zu [mm] $b\!$ [/mm] setzen. Damit erhalten wir folgende Funktion:
[m] \Rightarrow d_{{\text{Rechteck}}} \left( b \right) = \sqrt {\frac{{U_{{\text{Rechteck}}}^2 }}
{4} - bU_{{\text{Rechteck}}} + 2b^2 }[/m]
Ich nehme an, du weißt inzwischen, wie man das Minimum einer Funktion bestimmt. Hier müßte die Länge von [mm] $d\!$ [/mm] genau dann minimal werden, wenn der Umfang des Rechtecks > 0 ist, und wenn die Länge von [mm] $b\!$ [/mm] ein Viertel der Länge des Umfangs ist. Das bedeutet, daß wir in diesem Falle ein Quadrat haben:
[m]4b = 2\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow b = \frac{{a + b}}
{2} = \frac{a}
{2} + \frac{b}
{2} \Leftrightarrow \frac{b}
{2} = \frac{a}
{2} \Leftrightarrow a = b[/m].
Viele Grüße
Karl
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