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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mo 02.03.2015 | | Autor: | smoot |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung [mm] 2cos(z)(1-4sin^{2}(z))=1 [/mm] |
[mm] 2cos(z)(1-4sin^{2}(z))=1
[/mm]
<=> [mm] cos(z)-4cos(z)sin^{2}(z)=\bruch{1}{2}
[/mm]
<=> [mm] e^{zj}+e^{-zj}+(e^{zj}+e^{-zj})(e^{2zj}-2+e^{-2zj}) [/mm] = 1
<=> [mm] e^{3zj}+e^{-3zj} [/mm] = 1
<=> w = [mm] e^{3zj}
[/mm]
w = [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}j
[/mm]
Frage1: Wenn ich mich nicht irre müsste ich doch zwei Ergebnisse heraus bekommen bzw. ein Ergebnis mit " [mm] \pm [/mm] ".
Wäre das in diesem Fall:
[mm] \bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}j [/mm]
??
denn ich bin mir nicht sicher ob es nun:
[mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] oder
[mm] \bruch{5\pi}{6} [/mm] als arg(w) ist.
dann würde ja folgen:
w = ln(|w|)+j(arg(w)+2 [mm] \pi [/mm] k) k [mm] \in \IZ
[/mm]
<=> w = [mm] ln(\bruch{1}{2})+j(\bruch{2\pi}{3}+2 \pi [/mm] k)
( :j -> ln dann auch durch j teilen obwohl [mm] \in \IR [/mm] ?)
<=> z = [mm] ln(\bruch{1}{2*3})+\bruch{\pi}{3}+2 \pi [/mm] k
Frage2: Stimmt es, das der Betrag ln(|w|) dann [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist? der Betrag wäre ja eigentlich r aus [mm] r*e^{j\Delta}
[/mm]
mit r [mm] \in [0|\infty) [/mm] und [mm] \Delta \in (-\pi|\pi] [/mm] ..
Danke schonmal
*ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mo 02.03.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
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> [mm]2cos(z)(1-4sin^{2}(z))=1[/mm]
>
> <=> [mm]cos(z)-4cos(z)sin^{2}(z)=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> <=> [mm]e^{zj}+e^{-zj}+(e^{zj}+e^{-zj})(e^{2zj}-2+e^{-2zj})[/mm] =
> 1
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> <=> [mm]e^{3zj}+e^{-3zj}[/mm] = 1
>
> <=> w = [mm]e^{3zj}[/mm]
>
> w = [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}j[/mm]
Die letzte Aequivalenz ist doch Unfug.
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> Frage1: Wenn ich mich nicht irre müsste ich doch zwei
> Ergebnisse heraus bekommen bzw. ein Ergebnis mit " [mm]\pm[/mm] ".
> Wäre das in diesem Fall:
> [mm]\bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}j[/mm]
> ??
Ja, die Gleichung $w+1/w=1$ besitzt zwei Lösungen, nämlich [mm] $w_{\pm}=\bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}j [/mm] $
> denn ich bin mir nicht sicher ob es nun:
> [mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] oder
>
> [mm]\bruch{5\pi}{6}[/mm] als arg(w) ist.
>
>
>
> dann würde ja folgen:
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> w = ln(|w|)+j(arg(w)+2 [mm]\pi[/mm] k) k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> <=> w = [mm]ln(\bruch{1}{2})+j(\bruch{2\pi}{3}+2 \pi[/mm] k)
Was machst du hier?
Die Lösungen von [mm] $w_+=e^{3zj}$ [/mm] sind gegeben durch [mm] $3z_{+,k}j=\ln [/mm] w_+ [mm] +2\pi [/mm] j k$, wobei k eine ganze Zahl ist und [mm] $\ln$ [/mm] den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet.
Wegen [mm] $|w_{\pm}|=1$ [/mm] ist [mm] $\ln w_+=\pi [/mm] j/3$
>
> ( :j -> ln dann auch durch j teilen obwohl [mm]\in \IR[/mm] ?)
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> <=> z = [mm]ln(\bruch{1}{2*3})+\bruch{\pi}{3}+2 \pi[/mm] k
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> Frage2: Stimmt es, das der Betrag ln(|w|) dann [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ist? der Betrag wäre ja eigentlich r aus [mm]r*e^{j\Delta}[/mm]
> mit r [mm]\in [0|\infty)[/mm] und [mm]\Delta \in (-\pi|\pi][/mm] ..
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> Danke schonmal
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> *ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*
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Liebe Grüße
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