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| Aufgabe | Für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] sei [mm] \overline{a + bi} [/mm] := a - bi, und es sei gesetzt:
[mm] \tau [/mm] : [mm] \IC \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto \overline{z}
[/mm]
(a) Man zeige, dass [mm] \tau [/mm] ein Automorphismus der [mm] \IR [/mm] -Algebra [mm] \IC [/mm] ist und bestimme [mm] min_\tau \in \IR[/mm] [t]. Welche Eigenwerte und Eigenräume zu [mm] \tau [/mm] gibt es?
(b) Man zeige: Ist f [mm] \in \IR[/mm] [t] und z [mm] \in \IC [/mm] mit f(z) = 0, so ist auch [mm] f(\overline{z}) [/mm] = 0.
(c) Man zeige: Für jedes irreduzible Polynom h in [mm] \IR[/mm] [t] gilt Grad h <= 2. |
Hallo.
Ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe.
Zunächst bei (a). Bei einem Automorphismus handelt es sich um eine Funktion, die die folgenden Eingenschaften erfüllt:
1. sie bildet eine Struktur in sich selbst ab,
2. sie ist bijektiv,
3. sie ist ein Homomorphismus,
4. ihre Umkehrfunktion ist ein Homomorphismus.
Aber leider komme ich da nicht weiter. Es ist offensichtlich, dass der erste Punkt erfüllt ist. Doch wie zeige ich den Rest?
Zunächst bei (b). Wie zeige ich dass denn? Es heist doch dann (als Beispiel) z := a + bi. Dann gilt f(a + bi) = 0 = f(a - bi). Warum soll dass denn gelten?
Zunächst bei (c). Dort bin ich komplett überfragt. Aber vielleicht kann der Fundamentalsatz der Algebra da weiter helfen. Aber so richtig sicher bin ich nicht.
Kann mir jemand helfen. Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Sa 24.06.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich geb dir mal schnell ein paar Tipps für die a)
> Zunächst bei (a). Bei einem Automorphismus handelt es sich um eine Funktion, die die folgenden Eingenschaften erfüllt:
> 1. sie bildet eine Struktur in sich selbst ab,
> 2. sie ist bijektiv,
> 3. sie ist ein Homomorphismus,
> 4. ihre Umkehrfunktion ist ein Homomorphismus.
>
> Aber leider komme ich da nicht weiter. Es ist offensichtlich, dass der erste Punkt erfüllt ist. Doch wie zeige ich den Rest?
also zu 2) da musst du injektivität und Surjektivität zeigen.
zur injektivität nimmst du einfach mal [mm] $z_1=a+b*i$ [/mm] und [mm] $z_2=c+d*i$ [/mm] und dann zeigst du, dass aus [mm] $\tau (z_1)=\tau (z_2)$ [/mm] schon folgt, dass [mm] $z_1=z_2$
[/mm]
(vergleich von real- und imaginärteil..)
bei der surjektivität gibst du zu dem allgemeinen Element [mm] z_1 [/mm] einfach ein Urbild an !
zu 3) naja hier musst du halt die eigenschaften eines Homomorphismuses überprüfen - zum Beispiel : [mm] $\tau (z_1 +z_2)=\tau (z_1)+\tau (z_2)$
[/mm]
das ist eigentlich auch nur einsetzen der Variablen und umformen...
und bei 4) solltest du dir erstmal natürlich die Umkehrfunktion überlegen. Kleiner Tipp : [mm] $\overline{\overline{z}}=z$
[/mm]
leider weiß ich nun nicht ganz was [mm] $min_{\tau} \in\IR [/mm] [ t]$ sein soll..
aber ich lasse es mal teilweise beantwortet, damit sich evtl. noch jemand anderes findet..
viele grüße
DaMenge
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Hallo.
Vielen Dank für deine Tipps. Also den Automorphismus habe ich nun nachrechnen können.
min - bezeichnet das normierte Polynom kleinsten Grades in Kern [mm] \tau [/mm] \ {0}
Kann mir da noch jemand helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 27.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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