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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Sa 19.08.2006 | | Autor: | ff1985 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die reellen Zahlen a, b so dass:
a) $ [mm] e^{-2+i} [/mm] = a+bi $
b) $ [mm] \summe_{k=0}^{7} (1+i)^k [/mm] = a+bi $ |
Hi,
Stecke zur Zeit etwas bei diesen Aufgaben fest.
bei a) habe ich:
$ [mm] e^{-2+i} [/mm] = a+bi $
$ [mm] \to ln(e^{-2+i}) [/mm] = ln(a+bi) $
$ [mm] \to [/mm] -2+i = ln(a+bi) $
$ [mm] \to [/mm] -2+i = ln( [mm] \wurzel{a^2+b^2})+i(tan(\bruch{b}{a})+k*2 \pi [/mm] ) $ $ k [mm] \in \IR$
[/mm]
... - da diese Aufgaben von Hand lösbar sein sollten, nehme ich mal an, dass ich einen falschen Ansatz erwischt habe
und zu b):
$ [mm] \summe_{k=0}^{7} (1+i)^k [/mm] = a+bi $
$ [mm] \to (1+i)^0+(1+i)^1+(1+i)^2+(1+i)^3+(1+i)^4+(1+i)^5+(1+i)^6+(1+i)^7 [/mm] = a+bi $
$ [mm] \to (1+i)^0=1 [/mm] $
$ [mm] \to (1+i)^1 =(1+i)^1 [/mm] $
$ [mm] \to (1+i)^2=\wurzel{2}^{2}*e^{2*i*45^\circ} [/mm] = [mm] 2*e^{i*90^\circ}$
[/mm]
$ [mm] \to [/mm] x+i*y [mm] \to x=2*\cos(90), y=2*\sin(90) \to [/mm] 0+2*i $
ich nehme mal an, dass es einen schnelleren Weg gibt, als alle Komponenten einzeln zu berechnen und anschliessend zu addieren
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zu a:
Es gilt: [mm] $e^{a+ib}=e^a*(\cos(b)+i\sin(b))$, [/mm] wobei a, b reell sind. Das sollte sofort helfen!
zu b:
Ich denke schon, daß du auf dem richtigen Weg bist.
1+i hat die Länge [mm] \wurzel{2} [/mm] und den Winkel 45°.
Für die einzelnen Potenzen gilt, wie du bereits geschrieben hast, daß du die Längen multiplizieren und die Winkel addieren mußt Also
[mm] $1+\wurzel{2}e^{i45°}+\wurzel{2}^2e^{i*2*45°}+\wurzel{2}^3e^{i*3*45°}+\wurzel{2}^4e^{i*4*45°}+\wurzel{2}^5e^{i*5*45°}+\wurzel{2}^6e^{i*6*45°}+\wurzel{2}^7e^{i*7*45°}$
[/mm]
Jetzt weißt du z.B., daß 5*45° genau gegenüber 45° liegt, und die Längen daher voneinander abgezogen werden:
[mm] $1+(\wurzel{2}-\wurzel{2}^5)e^{i45°}+(\wurzel{2}^2-\wurzel{2}^6)e^{i*2*45°}+(\wurzel{2}^3-\wurzel{2}^7)e^{i*3*45°}+\wurzel{2}^4e^{i*4*45°}$
[/mm]
[mm] $1+(\wurzel{2}-\wurzel{2}^5)\bruch{1+i}{\wurzel{2}}+(\wurzel{2}^2-\wurzel{2}^6)i+(\wurzel{2}^3-\wurzel{2}^7)\bruch{-1+i}{\wurzel{2}}-\wurzel{2}^4$
[/mm]
Im letzten Schritt habe ich einfach geschaut, wohin der Winkel zeigt, und mir das als "Einheitsvektor" hingeschrieben.
Ich denke, der Rest ist kein Problem?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Sa 19.08.2006 | | Autor: | ff1985 |
| Aufgabe | $ [mm] e^{-2+i} [/mm] = a+bi $
$ = [mm] e^{-2}*e^{i*45^\circ } [/mm] $
$ [mm] \to a=e^{-2}*\cos(45^\circ) =e^{-2}*\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] $
$ [mm] \to b=e^{-2}*\sin(45^\circ) =e^{-2}*\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] $
$ [mm] \to a+bi=e^{-2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}+e^{-2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}*i [/mm] $
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korrekt?
thx für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 So 20.08.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo ff1985,
ich weiss leider nicht, wie Du auf die 45 Grad als Winkelgröße der komplexen Zahl kommst. Mit
$$ [mm] \rm{e}^{i\phi} [/mm] = [mm] \cos \phi [/mm] + i [mm] \cdot \sin \phi [/mm] $$
kannst Du Deinen Ausdruck umformen in
$$ [mm] \rm{e}^{-2+i} [/mm] = [mm] \rm{e}^{-2} \cdot \rm{e}^{i} [/mm] $$
und dann lässt sich die zweite e-Funktion ersetzen durch
$ [mm] \cos(1) [/mm] + i [mm] \cdot \sin(1) [/mm] $, wobei das Argument der Winkelfunktionen im Bogenmaß gerechnet wird.
Mit $ [mm] \cos [/mm] (1) = 0,54 $ und $ [mm] \sin [/mm] (1) = 0,84 $ brauchst Du nur noch diese Werte mit $ [mm] \rm{e}^{-2} [/mm] $ zu multiplizieren und Du hast das Ergebnis in der gewünschten Darstellung.
Viele Grüße,
Infinit
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b) geht viel geschickter so:
[mm](1 + \operatorname{i})^2 = 2 \operatorname{i}[/mm]
[mm](1 + \operatorname{i})^8 = \left( (1 + \operatorname{i})^2 \right)^4 = (2 \operatorname{i})^4 = 16[/mm]
Mit diesen Vorbereitungen folgt aus der Formel für eine geometrische Summe
[mm]\sum_{k=0}^7~(1 + \operatorname{i})^7 = \frac{(1 + \operatorname{i})^8 - 1}{1 + \operatorname{i} - 1} = \frac{15}{\operatorname{i}} = - 15 \operatorname{i}[/mm]
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