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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Hakki |
| Aufgabe | Jede komplexe Zahl hat eine Quadratwurzel.
Beweis:
Annahme: [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] i [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta \in \IR. [/mm]
Setze [mm] \gamma [/mm] = [mm] \wurzel[2]{\alpha^{2} + \beta^{2}} [/mm] Dann ist:
( [mm] \wurzel[2]{\bruch{\gamma+\alpha}{2}} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{\bruch{\gamma-\alpha}{2}} [/mm] i [mm] )^{2} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] i |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Forumsmitglieder,
ich hätte eine Frage zu diesem Beweis.
Muss ich nachrechnen, dass die linke Seite der Gleichung gleich der rechten Seite ist?
Ich habe die linke Seite mit Hilfe der binomischen Formel aufgelöst und so weit vereinfacht, bis ich auf [mm] \gamma [/mm] i + [mm] \alpha [/mm] i komme.
Danach habe ich für [mm] \gamma [/mm] das hier eingesetzt [mm] \gamma [/mm] = [mm] \wurzel[2]{\alpha^{2} + \beta^{2}}
[/mm]
Aber ich komme nicht auf die Gleichung, die rechts steht.
Vlt könnt ihr mir einen Tipp geben, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Viele Grüße
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Hi!
> Jede komplexe Zahl hat eine Quadratwurzel.
> Beweis:
> Annahme: [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] i [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta \in \IR.[/mm]
>
> Setze [mm]\gamma[/mm] = [mm]\wurzel[2]{\alpha^{2} + \beta^{2}}[/mm] Dann
> ist:
> ( [mm]\wurzel[2]{\bruch{\gamma+\alpha}{2}}[/mm] +
> [mm]\wurzel[2]{\bruch{\gamma-\alpha}{2}}[/mm] i [mm])^{2}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] +
> [mm]\beta[/mm] i
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo liebe Forumsmitglieder,
> ich hätte eine Frage zu diesem Beweis.
> Muss ich nachrechnen, dass die linke Seite der Gleichung
> gleich der rechten Seite ist?
> Ich habe die linke Seite mit Hilfe der binomischen Formel
> aufgelöst und so weit vereinfacht, bis ich auf [mm]\gamma[/mm] i +
> [mm]\alpha[/mm] i komme.
> Danach habe ich für [mm]\gamma[/mm] das hier eingesetzt [mm]\gamma[/mm] =
> [mm]\wurzel[2]{\alpha^{2} + \beta^{2}}[/mm]
> Aber ich komme nicht
> auf die Gleichung, die rechts steht.
>
> Vlt könnt ihr mir einen Tipp geben, ob ich auf dem
> richtigen Weg bin.
> Viele Grüße
Dann hast du dich verrechnet.
Mit [mm]\gamma=\wurzel[2]{\alpha^{2} + \beta^{2}}[/mm]
[mm]\bigg(\wurzel[2]{\bruch{\gamma+\alpha}{2}}+\wurzel[2]{\bruch{\gamma-\alpha}{2}}i\bigg)^2[/mm]
[mm]=\bigg(\bruch{\gamma+\alpha}{2}+2\cdot\wurzel[2]{\bruch{\gamma+\alpha}{2}}\cdot\wurzel[2]{\bruch{\gamma-\alpha}{2}}i\overbrace{-}^{ i^2=-1}\bruch{\gamma-\alpha}{2}\bigg)[/mm]
[mm]=\bigg(\bruch{\gamma+\alpha-\gamma+\alpha}{2}+2i\cdot\wurzel[2]{\bruch{\overbrace{(\gamma+\alpha)\cdot(\gamma-\alpha)}^{3. binomische Formel}}{4}}\bigg)[/mm]
[mm]=\bigg(\bruch{2\alpha}{2}+2i\cdot\wurzel[2]{\bruch{(\gamma^2-\alpha^2)}{4}}\bigg)[/mm]
So, jetzt kannst du [mm] $\gamma [/mm] einsetzung und zuende rechnen
.
Gruß
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:13 Di 10.07.2012 | | Autor: | Hakki |
Danke schön für die schnelle Antwort!
Ich hatte tatsächlich einen Vorzeichenfehler, der mir selbst beim Nachrechnen nicht aufgefallen ist.
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