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| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] z^3 [/mm] = 2-4i |
Ich bin an der Aufgabe wie oben beschrieben.
Auf dieser Seite habe ich dazu hilfe gefunden :
http://www.pohlig.de/Mathematik/komplex/komplex.htm
unter "Beispiel z3 = -1+i"
allerdings verstehe ich nicht ganz warum das 6wurzel2 ist und nicht 3wurzel2 weil etwas weiter oben auf der seite steht Die Gleichung
z hoch n = w da steht dann z = die n-te wurzel aus w
kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^3[/mm] = 2-4i
> Ich bin an der Aufgabe wie oben beschrieben.
>
> Auf dieser Seite habe ich dazu hilfe gefunden :
> http://www.pohlig.de/Mathematik/komplex/komplex.htm
> unter "Beispiel z3 = -1+i"
>
> allerdings verstehe ich nicht ganz warum das 6wurzel2 ist
> und nicht 3wurzel2 weil etwas weiter oben auf der seite
> steht Die Gleichung
> z hoch n = w da steht dann z = die n-te wurzel aus w
>
> kann mir da jemand helfen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo druckgott,
das liegt daran, dass [mm] |(z^3)|=|(-1+i)|=\wurzel{2} [/mm] ist und somit [mm] |z|=\wurzel[3]{\wurzel{2}}=\wurzel[6]{2}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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wie sieht das jetzt bei meiner aufgabe dann aus
[mm] z^3 [/mm] = 2-4i
[mm] \wurzel{2^{2}+4^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{20}
[/mm]
und dann habe ich ja wieder die hoch 3 also hätte ich dann [mm] \wurzel[3]{20} [/mm] für den betrag von z
jetzt noch eine farge dazu in der lösug steht jetzt drin, 1,65 [mm] e^{i99°}
[/mm]
und halt noch 2 weitere wie komme ich auf die 99° ??
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> wie sieht das jetzt bei meiner aufgabe dann aus
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> [mm]z^3[/mm] = 2-4i
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> [mm]\wurzel{2^{2}+4^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{20}[/mm]
>
> und dann habe ich ja wieder die hoch 3 also hätte ich dann
> [mm]\wurzel[3]{20}[/mm] für den betrag von z
> stimmt !!
> jetzt noch eine farge dazu in der lösug steht jetzt drin,
> 1,65 [mm]e^{i99°}[/mm]
> und halt noch 2 weitere wie komme ich auf die 99° ??
Hallo nochmal.
Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung sieht wie folgt aus:
[mm] x=|x|*(cos(arg(x))+i*sin(arg(x))=|x|*e^{i*arg(x)}
[/mm]
Also in deinem Falle:
[mm] z^3=2-4i=\wurzel{20}(cos(\bruch{7}{4}\pi)+i*sin(\bruch{7}{4}\pi))
[/mm]
Nun gilt, dass bei Multiplikation zweier komplexer Zahlen die Beträge multipliziert und die Argumente addiert werden,
hier ist x dreimal mit sich selbst multipliziert (du hast ja [mm] x^3), [/mm] also ist [mm] |x|=\wurzel[3]{\wurzel{20}} [/mm] und [mm] 3arg(x^3)=arg(x), [/mm] also [mm] arg(x)=\bruch{1}{3}arg(x^3)=\bruch{1}{3}*\bruch{7}{4}=\bruch{7}{12}
[/mm]
Es ist ja allgemein für [mm] w\in\IC:
[/mm]
[mm] w_k=\wurzel[n]{w}\left(cos\left(\bruch{1}{n}(arg(w)+2k\pi)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{n}(arg(w)+2k\pi)\right)\right) [/mm] für [mm] k\in\{0,1,...,n-1\}
[/mm]
Also erhältst du in deinem Falle die Lösungen (für n=3 und k=0,1,2)
[mm] x_0=\wurzel[3]{20}\left(cos\left(\bruch{1}{3}(arg(x)+2*0\pi)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{3}(arg(x)+2*0\pi)\right)\right)=\wurzel[3]{20}\left(cos\left(\bruch{7}{12}\pi\right)+i*sin\left(\bruch{7}{12}\pi)\right)\right)=\wurzel[3]{20}*e^{i*\bruch{7}{12}\pi}
[/mm]
[mm] x_1=\wurzel[3]{20}\left(cos\left(\bruch{1}{3}(arg(x)+2*1\pi)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{3}(arg(x)+2*1\pi)\right)\right)=\wurzel[3]{20}\left(cos\left(\bruch{7}{12}\pi+\bruch{2}{3}\pi\right)+i*sin\left(\bruch{7}{12}+\bruch{2}{3}\pi\right)\right)=\wurzel[3]{20}\left(cos\left(\bruch{15}{12}\pi\right)+i*sin\left(\bruch{15}{12}\pi\right)\right)=\wurzel[3]{20}*e^{i*\bruch{15}{12}\pi}
[/mm]
[mm] x_2=..... [/mm] analog
Gruß
schachuzipus
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