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Hallo ^_^
Hier kommt meine Frage - etwas präziser gestellt...:
Wie lässt sich die Multiplikation in der Zahlenebene/auf dem Zahlenstrahl graphisch (d.h. mit Vektoren) deuten?
Um ein Skalarprodukt kann es sich ja nicht handeln, da wieder ein neuer Vektor entstehen muss. Und eine skalare Multiplikation auch nicht, da der Pfeil nicht nur gestreckt, sondern auch um einen Winkel gedreht werden muss. Doch was ist es dann ^^;;;;?????
Bitte helft mir ^^;;;;
Beste Grüße
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Hallo...
Wenn du 2 komplexe Zahlen in Polardarstellung gegeben hast, dann multipliziert man beide Zahlen indem man die Längen (Beträge) multipliziert und die Winkel addiert...
z.B. [mm] z_1=z_2=1+i=\wurzel{2}*e^{\br{\pi}{4}i}
[/mm]
dann [mm] z_1*z_2=2*e^{\br{\pi}{2}i}=2i
[/mm]
Tschüüß sagt Röby
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Lässt sich das ganze in irgendeiner Art mit den Gesetzen der herkömmlichen Vektoren im 2-dimensionalen Koordinatensystem in Einklang bringen?
Beste Grüße
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Die Addition entspricht voll der Vektoraddition. Die Multiplikation ist etwas völlig Neues; sie hat auch nichts mit dem Kreuzprodukt zu tun, das ja senkrecht auf beiden Faktoren steht. Die komplexe Multiplikation mit Zahlen ist ja auch etwas so Merkwürdiges, dass es keine Entsprechung bei den reellen Zahlen gibt.
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Gut --- aber gibt es irgendeinen Beweis oder zumindest eine Plausibilitätsbetrachtung, warum sich komplexe Zahlen bei der graphischen (!!!) Multiplikation so verhalten wie sie sich verhalten?
Etwas banaler ausgedrückt: Woher weiß man, dass man den Zeiger bei der Mutliplikation strecken und um einen bestimmten Winkel drehen muss?
(Da in der Mathematik ja nur die natürlichen Zahlen als Axiome anerkannt werden, muss man dieses Verhalten bei der komplexen Multiplikation irgendwie deduktiv erschließen könnten ^^;;;)
Beste Grüße ^^
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> aber gibt es irgendeinen Beweis oder zumindest eine
> Plausibilitätsbetrachtung, warum sich komplexe Zahlen bei
> der graphischen (!!!) Multiplikation so verhalten wie sie
> sich verhalten?
Hallo,
wieZzZel hatte das ja schon mit der Polardarstellung begründet, einfacher verständlich ist sicher die trig. Darstellung:
Du kannst jede komplexe Zahl z schreiben als [mm] z=|z|*(\cos\phi [/mm] + [mm] i\sin\phi), [/mm] das ist die trigonometrische Form.
In der Gaußschen Zahlenebene gibt Dir |z| die Länge des Vektors und [mm] \phi [/mm] ist der Winkel, den er mit der x-Achse einschließt.
Nun multipliziere zwei komplexe Zahlen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2.
[/mm]
Es ist
[mm] z_1*z_2=|z_1|*(\cos\phi_1 [/mm] + [mm] i\sin\phi_1)*|z_2|*(\cos\phi_2 [/mm] + [mm] i\sin\phi_2)
[/mm]
[mm] =|z_1|*|z_2|*(\cos\phi_1\cos\phi_2 [/mm] - [mm] \sin\phi_1\sin\phi_2 [/mm] + [mm] i(\cos\phi_1\sin\phi_2+\sin\phi_1\cos\phi_2),
[/mm]
und mit den Additionstheoremen f. die trig. Funktionen erhältst Du
[mm] ...=|z_1|*|z_2|*(\cos(\phi_1+\phi_2 [/mm] )+ [mm] i(\sin(\phi_1+\phi_2)),
[/mm]
und dies ist ein Vektor der Länge [mm] |z_1|*|z_2|, [/mm] welcher mit der x-Achse den Winkel [mm] \phi_1+\phi_2 [/mm] einschließt.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:39 Fr 21.12.2007 | | Autor: | able1tung |
Hallo - so wie ich das sehe hat man also als Ergebnis die Formel des Skalarprodukts und der Winkel "im cos" ist der Winkel um den der Vektor gedreht wurde (von der x-Achse weg; gegen den Uhrzeigersinn) .
Doch was ist das mit dem + i(sin(omega1+omega2)) ??? Hat das keinerlei Einfluss???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Fr 21.12.2007 | | Autor: | able1tung |
ne hat sich erledigt ^^...weiß nur nicht wie man hier beiträge editiert...ich glaube ich hab nur grad den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen ^^;;;; VIELEN DANK!!!!
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Ich hätte dann doch noch mal eine kleine Frage ^^;;;;;
Zur Zeigermultiplikation AUF DEM ZAHLENSTRAHL
Mir ist durchaus bewusst, dass es sich nur um einen Spezialfall
der Multiplikation in der Ebene mit dem Winkel 0° handelt und deswegen auch die oben hergeleitete Formel angewendet werden darf,
ABER...hier in meinem Buch wird erst dieser Spezialfall, d.h. die Zeigermultiplikation auf dem ZAHLENSTRAHL, behandelt.
Mir erscheint das ganze wie eine ganz normale Skalarmultiplikation.
Ist das richtig?
Was mir unklar ist...Zwei Pfeile werden auf dem Zahlenstrahl multipliziert...man spricht von einer Skalarmultiplikation...warum darf man dann einen Pfeil/Vektor in einen Skalar "verwandeln"???
argh....
Habt ihr zum ZAHLENSTRAHL auch eine -->unabhängige<--- Erklärung am Start??? Ich mein - man kann es mit der bewiesenen Formel ja ohne Probleme für 0° erklären... aber ich mein jetzt UNABHÄNGIG von der Formel... d.h. einen Beweis den man durchführen könnte, auch OHNE DIE ZAHLENEBENE zu kennen.
Beste Grüße ^^
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Hallo,
es ist schwer, Deine Frage zu beantworten, ohne genauer zu wissen, was so alles in Deinem Buch steht.
Irgendwo müßtet Ihr die Multiplikation und Addition v Zeigern definiert haben, und ich fände es natürlich, anschließend zu zeigen, daß sie zur "normalen" Multiplikation von Zahlen paßt.
Auf das, was Du sagst, kann ich mir keinen rechten Reim machen...
Wenn mein Sohn mit seinem Lambacher Schweizer heim kommt, kann ich mal einen Blick hineinwerfen, allerdings sind wir "nur" RLP, und ich erinnere mich, daß mein älterer Sproß sich gerade kürzlich darüber geklagt hat, daß für die Kommilitonen, die in BW und BY Abi gemacht haben, die komplexen Zahlen nichts Neues waren...
"Normale Skalarmultiplikation"? Neint, denn das Produkt von Zeigern ist bei Dir ja ein Zeiger, das Resultat eines Skalarprodukts jedoch ein Element aus [mm] \IR [/mm] und kein Zeiger.
Gruß v. Angela
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Das Ergebnis eines Skalarprodukts ist eine Zahl. (Wie der Name schon sagt - ein Skalar!) z.B. Vektor a * Vektor b
Das Ergebnis einer skalaren Multiplikation ist aber sehr wohl ein Zeiger bzw. ein Vektor. Genauer gesagt, ein Vektor der um einen bestimmten (skalaren) Faktor gestreckt worden ist. z.B. 3*Vektor a
Der entscheidende Punkt ist nun, dass (minus)-1 * Vektor a , den Vektor a um 180Grad dreht. Das ist ja einer der Knackpunkte bei der Herleitung der komplexen Zahlen.
Worauf will ich nun hinaus? Im Prinzip scheint das mit der Multiplikation auf dem Zahlenstrahl wie eine skalare Multiplikation auszusehen, ABER EBEN NUR SCHEINBAR, denn es wird ja kein Skalar mit einem Vektor multipliziert, sondern ein Vektor mit einem Vektor!
Warum ist das ganze dann doch richtig?????
Es ist dabei nur bekannt das es eine Menge reeller Zahlen gibt und das eine Addition definiert ist.
BEste grüße ^^
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Zunächst ist festzuhalten, daß wir es mit 4 völlig (!) verschiedenen Multiplikation zu tun haben:
1. Multiplikation zweier reeller Zahlen --> reelle Zahl
2. Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor --> Vektor
3. Multiplikation zweier Vektoren --> reelle Zahl
4. Multiplikation zweier Zeiger/Vektoren --> Zeiger in derselben Ebene.
> Warum ist das ganze dann doch richtig?????
Daß Du das Gefühl hast, daß "es paßt", liegt daran, daß die Definitionen der Verknüpfungen so gewählt sind, daß sie "irgendwie" zur Multiplikation reeller Zahlen passen.
Gruß v. Angela
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Wie lässt sich aber nun beweisen, dass bei der Multiplikation zweier Zeiger auf dem Zahlenstrahl stets ein neuer Zeiger entsteht. Wie lässt sich zeigen, dass dieser Zeiger die Länge |Zeiger 1|* Zeiger2 (-->Betrag Zeiger 1) hat?
Wie lässt sich zeigen, dass das Minus eine Drehung von 180Grad erzeugt`???
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo able1tung!
Verwende doch die Formel der Multiplikation mit dem Spezialfall [mm] $\varphi_{1,2} [/mm] \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \left\{ \ 0°; \ 180° \ \right\}$ [/mm] .
[mm] $$z_1*z_2 [/mm] \ = \ [mm] r_1*e^{i*\varphi_1}*r_2*e^{i*\varphi_2} [/mm] \ = \ [mm] r_1*r_2*e^{i*(\varphi_1+\varphi_2)} [/mm] \ = \ [mm] r_1*r_2*\left[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i*\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right]$$
[/mm]
Schließlich gilt ja [mm] $\sin(0°) [/mm] \ = \ [mm] \sin(180°) [/mm] \ = \ [mm] \sin(360°) [/mm] \ = \ 0$ und es gibt keinen Imaginärteil.
Die Multiplikation mit einer negativen Zahl entspricht dann [mm] $\varphi_k [/mm] \ = \ 180°$ .
Gruß
Loddar
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Genau diese wollte ich aber nicht verwenden.
Ich wollte/will von dem Standpunkt ausgehen, dass ich noch NIE etwas von komplexen Zahlen gehört habe und auf dieser Basis suche ich einen Beweis, der zeigt, dass die Multiplikation von Zeigern auf den Zahlenstrahl den entsprechenden Regeln gehorcht. ^^
BEste Grüße ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich weiß nicht zu 100%, was die anderen schon geschrieben haben. Aber du suchst also sozusagen einen Beweis, der dir sagt, dass man sich die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen so vorstellen kann, als dass man sie in die Gauß'sche Zahlenebene bringt und sich dann vorstellt, dass man die Längen der Vektoren multipliziert und die Winkel addiert?
Wenn ja, dann solltest du du dir die allgemeine Darstelleung einer komplexen Zahl $z:=a+bi$ als
[mm] $z=|z|*(\cos\phi+i \sin\phi)$ [/mm] kennen. Das bekommst du durch allgemeine Darstellung in der Gauß-Ebene hin, und indem du dir dann die "kartesischen" Koordinaten in Polarkoord. umformulierst.
Dann kannst du ja deine beiden Komplexen Zahlen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] so darstellen, und dann mal miteinander multiplizieren.
Dann steht da ja folgendes:
Sei [mm] $z_1=|z_1|(\cos\phi_1+i \sin\phi_1)$ [/mm] und [mm] $z_2=|z_2|(\cos\phi_2+i \sin\phi_2)$
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $z_1*z_2=|z_1||z_2|(\cos\phi_1+i \sin\phi_1)(\cos\phi_2+i \sin\phi_2)$
[/mm]
Wenn du das ausmultiplizierst, und [mm] $i^2=-1$ [/mm] und die Additionstheoreme für den Sinus/Cosinus anwendest, dann steht da hinterher:
[mm] $z_1*z_2=|z_1||z_2|(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2))$
[/mm]
Und aus der Darstellung kannst du dann entnehmen, wie [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] in der Gauß'schen Zahlenebene liegt und wie das aus den Vektoren, die [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] darstellen, hervorgeht.
Damit kannst du dann eigentlich alles weitere Folgern.
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Sa 22.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo ableitung
Sowas kann man nicht beweisen! Der Zahlenstrahl ist eine Veranschaulichung der reellen Zahlen! Es ist naheliegend die Addition als Aneinanderfügen von Strecken zu interpretieren! Ebenso die Multiplikation als "Dehnung bzw. Stauchung". Mult. mit -1 führt auf den neg. Teil des Zahlenstrahls. Das kann man (muss aber nicht) als Drehung um 180° oder als Spiegelung an 0 sehen.
Damit fällt es dann manchen (anscheinend nicht dir so sehr) leichter , wenn etwas Neues, nämlich i eingeführt wird, sich das auch - jetzt in einer Zahlenebene- vorzustellen, und die Drehung um 90° der Multiplikation zuzuordnen! auch das ist erst NACH der "Erfindung" der imaginären und komplexen Zahlen passiert, ist also keineswegs sebstverständlich. Einer der großten Mathematiker -Gauss- hat diese Möglichkeit der Interpretation erkannt. Seither kann man mit komplexen Zahlen - wenn mans erst gelernt hat- viel besser umgehen.
Aber am Anfang standen einfach die "Erfindung" der komplexen Zahlen, weil sie bei manchen Problemen nützlich waren. Es bestand aber ein Widerstand sie "Zahlen" zu nennen! deshalb die Namen imaginär und komplex!
Mathematiker können sich beliebige Dinge ausdenken damit spielen und hantieren, nachdem sie Regelen aufgestellt haben. Oft erweisen sich diese "Spielereien" später auch in der Anwendung äusserst nützlich, aber das ist ein Nebeneffekt.
Die Schwierigkeiten die du hast hatten also auch viele Mathematiker am Anfang!
Gruss leduart
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