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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Fr 24.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Gegeben seien folgende Definitionen:
[mm] z_{1}=-3+3i
[/mm]
[mm] z_{2}=4(cos(150grad)+i*sin(150grad))
[/mm]
[mm] z_{3}=z_{1}-z_{2}
[/mm]
Ermitteln Sie [mm] z_{3} [/mm] |
Guten Morgen,
[mm] z_{1}=-3+3i
[/mm]
[mm] z_{2}=4(cos(150grad)+i*sin(150grad))
[/mm]
[mm] z_{3}=z_{1}-z_{2}
[/mm]
Bringe nun erstmal [mm] z_{2} [/mm] in die allgemeine Form und [mm] z_{1} [/mm] in die trigonometrische Form.
[mm] z_{2}=4(cos(150grad)+i*sin(150grad))
[/mm]
[mm] =4\left(-\bruch{\wuzel{3}}{2}-i*\bruch{1}{2}\right)
[/mm]
[mm] =-2\wurzel{3}+2i
[/mm]
Nun könnte man ja sagen:
[mm] z_{3}=-3+3i+2\wurzel{3}+2i
[/mm]
[mm] =2\wurzel{3}-3+5i
[/mm]
Ist aber unschön!
Bringe jetzt mal [mm] z_{1} [/mm] in die trigonometrische Form:
[mm] z_{1}=-3+3i
[/mm]
[mm] r=\wurzel{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{(-3)^{2}+3^{2}}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{18}
[/mm]
[mm] tan\phi_{0}=\bruch{a}{b}
[/mm]
[mm] tan\phi_{0}=\bruch{3}{3}
[/mm]
Kurze Zwischenfrage. Hier zählt nur der Betrag, oder? D.h. das - von -3 kann ich hier weglassen?
[mm] tan\phi_{0}=1
[/mm]
[mm] \phi_{0}=45grad
[/mm]
[mm] \phi_{k}=\pi-\bruch{\pi}{4}=\bruch{3\pi}{4}=135grad
[/mm]
[mm] z_{1}=\wurzel{18}(cos(135grad)+i*sin(135))
[/mm]
Nun zu meiner Frage. Ist alles richtig, was ich hier so gerechnet habe. Und bringt mich die trigonometrische Form hier wirklich weiter? Eher nicht, oder? Ist das Ergebnis oben jetzt einfach so unschön, oder kann man das ganze optimaler rechnen?
Gruß
mbau16
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Hallo,
>
> [mm]=4\left(-\bruch{\wuzel{3}}{2}-i*\bruch{1}{2}\right)[/mm]
Das Minuszeichen vor dem Imaginärteil ist falsch, sin(150°) ist sicherlich positiv!
>
> [mm]=-2\wurzel{3}+2i[/mm]
>
Hier stimmt das jedoch wieder, so dass es wohl mein Tippfehler war?
> Nun könnte man ja sagen:
>
> [mm]z_{3}=-3+3i+2\wurzel{3}+2i[/mm]
>
> [mm]=2\wurzel{3}-3+5i[/mm]
>
> Ist aber unschön!
Schön oder nicht, es wäre richtig für den Fall, dass
[mm] z_3=z_1+z_2
[/mm]
gesucht wäre. Die Aufgabe lautet jedoch
[mm] z_3=z_1-z_2
[/mm]
>
> Bringe jetzt mal [mm]z_{1}[/mm] in die trigonometrische Form:
>
> [mm]z_{1}=-3+3i[/mm]
>
> [mm]r=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm]
>
> [mm]r=\wurzel{(-3)^{2}+3^{2}}[/mm]
>
> [mm]r=\wurzel{18}[/mm]
>
> [mm]tan\phi_{0}=\bruch{a}{b}[/mm]
>
> [mm]tan\phi_{0}=\bruch{3}{3}[/mm]
>
> Kurze Zwischenfrage. Hier zählt nur der Betrag, oder? D.h.
> das - von -3 kann ich hier weglassen?
Nein, das ist falsch: die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten, im zweiten und im vierten ist sie negativ.
>
> [mm]tan\phi_{0}=1[/mm]
>
> [mm]\phi_{0}=45grad[/mm]
>
> [mm]\phi_{k}=\pi-\bruch{\pi}{4}=\bruch{3\pi}{4}=135grad[/mm]
>
> [mm]z_{1}=\wurzel{18}(cos(135grad)+i*sin(135))[/mm]
>
> Nun zu meiner Frage. Ist alles richtig, was ich hier so
> gerechnet habe. Und bringt mich die trigonometrische Form
> hier wirklich weiter?
Wie gesagt, da sind Fehler drin. Und um deine Frage zu beantworten: in diesem Fall bringt dich das nicht weiter, es geht ja darum, möglichst schnell eine Darstellung der Summe zweier komplexer Zahlen zu erhalten.
In der trigonometrischen Schreibweise müsstest du jetzt mittels Additionstheoremen argumentieren. Es gibt Anwendungen der komplexen Zahlen, wo das eine Rolle spielt; Stichwort wäre das sog. ![[]](/images/popup.gif) Zeigerdiagramm.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 24.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> >
> > Bringe jetzt mal [mm]z_{1}[/mm] in die trigonometrische Form:
> >
> > [mm]z_{1}=-3+3i[/mm]
> >
> > [mm]r=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm]
> >
> > [mm]r=\wurzel{(-3)^{2}+3^{2}}[/mm]
> >
> > [mm]r=\wurzel{18}[/mm]
> >
> > [mm]tan\phi_{0}=\bruch{a}{b}[/mm]
> >
> > [mm]tan\phi_{0}=\bruch{3}{3}[/mm]
> >
> > Kurze Zwischenfrage. Hier zählt nur der Betrag, oder? D.h.
> > das - von -3 kann ich hier weglassen?
>
> Nein, das ist falsch: die Tangensfunktion ist positiv im
> ersten und dritten Quadranten, im zweiten und im vierten
> ist sie negativ.
>
> >
> > [mm]tan\phi_{0}=-1[/mm]-->>> Also setze ich hier ein - davor
> >
> > [mm]\phi_{0}=-45grad[/mm] -->>> Hier ebenfalls
> >
> > [mm]\phi_{k}=\pi-\bruch{\pi}{4}=\bruch{3\pi}{4}=135grad[/mm]
> >
> > [mm]z_{1}=\wurzel{18}(cos(135grad)+i*sin(135))[/mm]
Danke für Deine schnelle und hilfreiche Antwort. Mein Ergebnis mit den Veränderungen im oberen Teil sind dann richtig?
Vielen Dank nochmal!
Gruß
mbau16
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Hallo,
ja, das passt so: beachte, dass ich dir oben vorschnell eine richtige Lösung attestiert habe, was aber verkehrt war: du hattest versehentlich addiert anstatt zu Subtrahieren!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Fr 24.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Mittag zusammen,
danke nochmal an Diophant für die super Hilfe. Jetzt geht´s schon weiter im Text.
Möchte jetzt hier weitermachen. Nachdem ich [mm] z_{2} [/mm] in den oberen Threads in die trigonometrische Form gebracht habe, kann ich also so weitermachen:
[mm] z_{4}=z_{1}*z_{2}
[/mm]
[mm] z_{1}=4(cos(150grad)+i*sin(150grad))
[/mm]
[mm] z_{2}=\wurzel{18}(cos(135grad)+i*sin(135grad))
[/mm]
Als erstes- Kann mir mal bitte jemand sagen, wie ich hier das Gradzeichen machen  So hier mein Ergebnis
[mm] z_{4}=4\wurzel{18}(cos(285grad)+i*sin(285grad))
[/mm]
Müsste so richtig sein und als Ergebnis reichen. Wie zeige ich jetzt jedoch mein Ergebnis in der gaußschen Zahlenebene?
Wenn das in der allgemeinen Form wäre, kein Problem, aber so?
Oder muss ich das Ergbnis dafür in die allgemeine Form bringen?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo,
> Möchte jetzt hier weitermachen. Nachdem ich [mm]z_{2}[/mm] in den
> oberen Threads in die trigonometrische Form gebracht habe,
> kann ich also so weitermachen:
>
> [mm]z_{4}=z_{1}*z_{2}[/mm]
>
> [mm]z_{1}=4(cos(150grad)+i*sin(150grad))[/mm]
>
> [mm]z_{2}=\wurzel{18}(cos(135grad)+i*sin(135grad))[/mm]
>
> Als erstes- Kann mir mal bitte jemand sagen, wie ich hier
> das Gradzeichen machen So hier mein Ergebnis
Das müsste einfach so durch Eintippen gehen:
157°
>
> [mm]z_{4}=4\wurzel{18}(cos(285grad)+i*sin(285grad))[/mm]
>
> Müsste so richtig sein und als Ergebnis reichen. Wie zeige
> ich jetzt jedoch mein Ergebnis in der gaußschen
> Zahlenebene?
Das stimmt so. Um die Zahl zu finden, trage einen Winkel von 285° im Uhrzeigersinn bzw. 75° im Gegenuhrzeigersinn zur reellen Achse ab. In dieser Richtung hat die Zahl dann den Abstand [mm] r=4*\wurzel{18}=12*\wurzel{2} [/mm] zum Ursprung, also zur Null.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 24.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo,
>
> > Möchte jetzt hier weitermachen. Nachdem ich [mm]z_{2}[/mm] in den
> > oberen Threads in die trigonometrische Form gebracht habe,
> > kann ich also so weitermachen:
> >
> > [mm]z_{4}=z_{1}*z_{2}[/mm]
> >
> > [mm]z_{1}=4(cos(150grad)+i*sin(150grad))[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=\wurzel{18}(cos(135grad)+i*sin(135grad))[/mm]
> >
> > Als erstes- Kann mir mal bitte jemand sagen, wie ich hier
> > das Gradzeichen machen So hier mein Ergebnis
>
> Das müsste einfach so durch Eintippen gehen:
>
> 157°;254°
>
> >
> > [mm]z_{4}=4\wurzel{18}(cos(285grad)+i*sin(285grad))[/mm]
> >
> > Müsste so richtig sein und als Ergebnis reichen. Wie zeige
> > ich jetzt jedoch mein Ergebnis in der gaußschen
> > Zahlenebene?
>
> Das stimmt so. Um die Zahl zu finden, trage einen Winkel
> von 285° im Uhrzeigersinn bzw. 75° im Gegenuhrzeigersinn
> zur reellen Achse ab. In dieser Richtung hat die Zahl dann
> den Abstand [mm]r=4*\wurzel{18}=12*\wurzel{2}[/mm] zum Ursprung,
> also zur Null.
Super, danke. Also, ist mein reeller Teil positiv und mein imaginärer Teil negativ?
Gruß
mbau16
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Hallo,
> Super, danke. Also, ist mein reeller Teil positiv und mein
> imaginärer Teil negativ?
genau so ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 24.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Mittag,
so jetzt erstmal die letzte Frage in Bezug auf komplexe Zahlen.
[mm] z_{6}=\wurzel{z_{2}}
[/mm]
Stellen Sie [mm] z_{6} [/mm] auch in der trigonometrischen und eulerschen Form dar.
[mm] z_{2}=4(cos(150°)+i*sin(150°))
[/mm]
oder
[mm] z_{2}=-2\wurzel{3}+2i
[/mm]
Jetzt zur Aufgabe.
[mm] z_{6}=\wurzel{z_{2}}
[/mm]
Somit:
[mm] z_{6}=(z_{2})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Also:
[mm] z_{6}=(-2\wurzel{3}+2i)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Trigonometrische Form:
[mm] z_{6}=4^{\bruch{1}{2}}\left((cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)\right)
[/mm]
[mm] =2\left(\bruch{1}{2}*\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)+i*\left(\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}\right)\right)
[/mm]
[mm] =2\left(-\bruch{\wurzel{3}}{4}+i*\bruch{1}{4}\right)
[/mm]
[mm] =-\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{1}{2}i
[/mm]
So, bis jetzt müsste eigentlich alles stimmen. In der gaußschen Zahlenebene müsste [mm] z_{6} [/mm] im zweiten Quadranten liegen, mit einem negativen Realteil und einem positiven Imaginärteil.
Jetzt zur eulerschen Form.
[mm] z_{6}=2*e^{i*\bruch{1}{2}*\bruch{5\pi}{6}}
[/mm]
[mm] z_{6}=2*e^{i*\bruch{5\pi}{12}}
[/mm]
Ist das alles so korrekt? Vielen Dank nochmal für die ganze Mühe!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Guten Mittag,
>
> so jetzt erstmal die letzte Frage in Bezug auf komplexe
> Zahlen.
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{z_{2}}[/mm]
>
> Stellen Sie [mm]z_{6}[/mm] auch in der trigonometrischen und
> eulerschen Form dar.
>
> [mm]z_{2}=4(cos(150°)+i*sin(150°))[/mm]
>
> oder
>
> [mm]z_{2}=-2\wurzel{3}+2i[/mm]
>
> Jetzt zur Aufgabe.
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{z_{2}}[/mm]
>
> Somit:
>
> [mm]z_{6}=(z_{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]z_{6}=(-2\wurzel{3}+2i)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Trigonometrische Form:
>
> [mm]z_{6}=4^{\bruch{1}{2}}\left((cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)\right)[/mm]
>
> [mm]=2\left(\bruch{1}{2}*\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)+i*\left(\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}\right)\right)[/mm]
>
Dies ist nicht korrekt, denn
[mm]cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right) \not=-\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
[mm]sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right) \not=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]=2\left(-\bruch{\wurzel{3}}{4}+i*\bruch{1}{4}\right)[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{1}{2}i[/mm]
>
> So, bis jetzt müsste eigentlich alles stimmen. In der
> gaußschen Zahlenebene müsste [mm]z_{6}[/mm] im zweiten Quadranten
> liegen, mit einem negativen Realteil und einem positiven
> Imaginärteil.
>
> Jetzt zur eulerschen Form.
>
> [mm]z_{6}=2*e^{i*\bruch{1}{2}*\bruch{5\pi}{6}}[/mm]
>
> [mm]z_{6}=2*e^{i*\bruch{5\pi}{12}}[/mm]
>
Die eulersche Form ist korrekt.
> Ist das alles so korrekt? Vielen Dank nochmal für die
> ganze Mühe!
>
Das ist nur ein Teil der Wahrheit, denn die Wurzel aus
einer komplexen Zahl hat in der Regel 2 Werte
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 24.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> > Guten Mittag,
> >
> > so jetzt erstmal die letzte Frage in Bezug auf komplexe
> > Zahlen.
> >
> > [mm]z_{6}=\wurzel{z_{2}}[/mm]
> >
> > Stellen Sie [mm]z_{6}[/mm] auch in der trigonometrischen Form dar.
> >
> > [mm]z_{2}=4(cos(150°)+i*sin(150°))[/mm]
> >
> > oder
> >
> > [mm]z_{2}=-2\wurzel{3}+2i[/mm]
> >
> > Jetzt zur Aufgabe.
> >
> > [mm]z_{6}=\wurzel{z_{2}}[/mm]
> >
> > Somit:
> >
> > [mm]z_{6}=(z_{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> >
> > Also:
> >
> > [mm]z_{6}=(-2\wurzel{3}+2i)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> >
> > Trigonometrische Form:
> >
> >
> [mm]z_{6}=4^{\bruch{1}{2}}\left((cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)\right)[/mm]
> >
> >
> [mm]=2\left(\bruch{1}{2}*\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)+i*\left(\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}\right)\right)[/mm]
> >
>
>
> Dies ist nicht korrekt, denn
>
> [mm]cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right) \not=-\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> [mm]sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right) \not=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}[/mm]
Wie ist es denn richtig? Etwa so:
[mm] z_{6}=4^{\bruch{1}{2}}\left((cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)\right)
[/mm]
[mm] z_{6}=4^{\bruch{1}{2}}\left((cos(75°)\right)+i*sin\left(75°)\right)
[/mm]
Wie drücke ich denn 75° in cos und sin aus????
> Das ist nur ein Teil der Wahrheit, denn die Wurzel aus
> einer komplexen Zahl hat in der Regel 2 Werte
Kannst Du das bitte auch nochmal näher erläutern?
Vielen Dank!
>
> > Gruß
> >
> > mbau16
> >
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Hallo mbau16,
> > > Guten Mittag,
> > >
> > > so jetzt erstmal die letzte Frage in Bezug auf komplexe
> > > Zahlen.
> > >
> > > [mm]z_{6}=\wurzel{z_{2}}[/mm]
> > >
> > > Stellen Sie [mm]z_{6}[/mm] auch in der trigonometrischen Form dar.
> > >
> > > [mm]z_{2}=4(cos(150°)+i*sin(150°))[/mm]
> > >
> > > oder
> > >
> > > [mm]z_{2}=-2\wurzel{3}+2i[/mm]
> > >
> > > Jetzt zur Aufgabe.
> > >
> > > [mm]z_{6}=\wurzel{z_{2}}[/mm]
> > >
> > > Somit:
> > >
> > > [mm]z_{6}=(z_{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> > >
> > > Also:
> > >
> > > [mm]z_{6}=(-2\wurzel{3}+2i)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> > >
> > > Trigonometrische Form:
> > >
> > >
> >
> [mm]z_{6}=4^{\bruch{1}{2}}\left((cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)\right)[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=2\left(\bruch{1}{2}*\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)+i*\left(\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}\right)\right)[/mm]
> > >
> >
> >
> > Dies ist nicht korrekt, denn
> >
> > [mm]cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right) \not=-\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> >
> > [mm]sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right) \not=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wie ist es denn richtig? Etwa so:
>
> [mm]z_{6}=4^{\bruch{1}{2}}\left((cos\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{2}(150°)\right)\right)[/mm]
>
> [mm]z_{6}=4^{\bruch{1}{2}}\left((cos(75°)\right)+i*sin\left(75°)\right)[/mm]
>
> Wie drücke ich denn 75° in cos und sin aus????
>
Du meinst wohl eher wie [mm]\cos\left(75^{\circ}\right)[/mm] bzw.[mm]\sin\left(75^{\circ}\right)[/mm] algebraisch angegeben werden kann.
Um dies herauszubekommen, kannst Du z.B. das Additionstheorem
[mm]\cos\left(2\alpha\right)=\cos^{2}\left(\alpha\right)-\sin^{2}\left(\alpha\right)[/mm]
benutzen, wobei der Wert für [mm]\cos\left(2\alpha\right)[/mm] bekannt ist.
> > Das ist nur ein Teil der Wahrheit, denn die Wurzel aus
> > einer komplexen Zahl hat in der Regel 2 Werte
>
> Kannst Du das bitte auch nochmal näher erläutern?
>
Dies liegt in der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion begründet.
[mm]z_{2}=r*e^{i*\varphi}=r*e^{i*\left(\varphi+2k\pi\right)}=r*e^{i*\varphi}*e^{i*2k\pi}[/mm]
Dies gilt, da [mm]e^{i*2k\pi}=1[/mm]
Demnach ergibt sich:
[mm]z_{6}=\wurzel{z_{2}}=\wurzel{r*e^{i*\left(\varphi+2k\pi\right)}}=\wurzel{r}*\wurzel{e^{i*\left(\varphi+2k\pi\right)}}}=\wurzel{r}*e^{\bruch{i*\left(\varphi+2k\pi\right)}{2}}[/mm]
> Vielen Dank!
> >
> > > Gruß
> > >
> > > mbau16
> > >
>
Gruss
MathePower
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