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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Do 25.08.2005 | | Autor: | mana |
hallo Leute, ich schon wieder.
also die Aufgabe lautet:
wenn [mm] z=\bruch{3}{\wurzel{2}}-\bruch{3}{\wurzel{2}}j
[/mm]
finde z^14. In polarform und algebraische form (rectangular form). die aufgabe ist schon wieder in englisch.
ich brauche einen Ansatz, danke:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Do 25.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo mana!
Erst einmal musst du die komplexe Form mit Hilfe von Polarkoordinaten, also in der Form (ich bleibe mal bei dem $j$, als Mathematiker schreibt man $i$)
[mm] $z=re^{j\varphi}$ [/mm] mit $r>0$ und [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$
[/mm]
schreiben. Wie das geht, steht hier.
Dann folgt:
[mm] $z^{14} [/mm] = [mm] r^{14} e^{j14\varphi}$.
[/mm]
Anschließend wandelst du dann wieder zurück um.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 25.08.2005 | | Autor: | mana |
also wenn ich richtig verstanden habe:
[mm] z=re^{j\phi} [/mm] mit [mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{\wurzel{2}}-\bruch{3}{\wurzel{2}}=re^{j\phi}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{\wurzel{2}}-\bruch{3}{\wurzel{2}}= \wurzel{x^2+y^2} e^{j\phi}
[/mm]
und nun?
oh jeh, wie macht man kleine griechische Buchstaben??
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Hallo Mana!
$z \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{3}{\wurzel{2}}}_{= \ x} [/mm] \ + \ [mm] i*\underbrace{\left(-\bruch{3}{\wurzel{2}}\right)}_{= \ y}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{3}{\wurzel{2}}\right)^2+\left(-\bruch{3}{\wurzel{2}}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{9}{2}+\bruch{9}{2}} [/mm] \ = \ 3$
[mm] $\tan \varphi [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-\bruch{3}{\wurzel{2}}}{\bruch{3}{\wurzel{2}}} [/mm] \ = \ -1$ [mm] $\Rightarrow$ $\varphi [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\pi}{4}$ $\Rightarrow$ $\varphi' [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\pi}{4}+2\pi [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}\pi$
[/mm]
Nun in die von Julius genannte Formel einsetzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 25.08.2005 | | Autor: | mana |
hallo,
habe das jetzt eingesetzt.
[mm] z=3e^{j\bruch{3}{2}\pi}
[/mm]
[mm] z^{14}=3^{14}e^{21j\pi}
[/mm]
kann ich hier noch weitermachen? und was ist diese "rectangular from"?
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Hallo Mana!
> [mm]z=3e^{j\bruch{3}{2}\pi}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]z^{14}=3^{14}e^{21j\pi}[/mm]
Das kann man noch etwas vereinfachen, da ja sin und cos periodisch sind mit der Periode [mm] $2\pi$:
[/mm]
[mm] $21\pi [/mm] \ = \ [mm] 20\pi [/mm] + [mm] 1\pi [/mm] \ = \ [mm] 10*2\pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] \ = \ [mm] 2k*\pi [/mm] + [mm] \pi$
[/mm]
Daraus folgt: [mm] $e^{j*21\pi} [/mm] = \ [mm] e^{j*\pi}$
[/mm]
Die algebraische oder "rectangular form" ist wieder die Darstellung:
$z \ = \ a+j*b$
Diese erhältst Du durch:
$z' \ = \ [mm] r'*e^{j*\varphi'} [/mm] \ = \ [mm] r'*\left[\cos(\varphi') + j*\sin(\varphi')\right]$
[/mm]
Hier also wieder einsetzen $r' \ := \ [mm] 3^{14}$ [/mm] sowie [mm] $\varphi' [/mm] \ := \ [mm] \pi$ [/mm] und ausrechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Fr 26.08.2005 | | Autor: | mana |
guten morgen,
also bin ich denn nun fertig, wenn ich es so agbebe?
z' [mm] =3^{14}e^{j\pi}=3^{14}[cos\pi+j*sin\pi]
[/mm]
[mm] =3^{14}*[(-1)+j*0]
[/mm]
[mm] =-3^{14}
[/mm]
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Guten Morgen Mana!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Jawoll - feddich  !!
Gruß vom
Roadrunner
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