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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mi 23.11.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie
(1) [mm] e^{i\bruch{\pi}{2}}=i [/mm] (e hoch i mal pi durch 2)
(2) [mm] e^{i\pi}=-1, [/mm]
(3) [mm] e^{i\bruch{3\pi}{2}}=-i
[/mm]
(4) [mm] e^{2\pii}=1
[/mm]
b) Zeigen Sie für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
(1) [mm] cos(x+2\pi)=cosx, sin(x+2\pi)=sinx
[/mm]
(2) [mm] cos(x+\pi)=-cosx, sin(x+\pi)=-sinx
[/mm]
(3) [mm] cosx=sin(\bruch{\pi}{2}-x), sinx=cos(\bruch{\pi}{2}-x) [/mm] |
Also:
Zu a)
(1) [mm] cos\bruch{\pi}{2}=0
[/mm]
[mm] sin^{2}\bruch{\pi}{2}1-cos^{2}\bruch{\pi}{2}=1 [/mm] => [mm] sin\bruch{\pi}{2}=1
[/mm]
[mm] e^{i\bruch{\pi}{2}}=cos\bruch{\pi}{2}+isin\bruch{\pi}{2}=i
[/mm]
(2) [mm] e^{i\pi}=-1
[/mm]
[mm] cos\pi+isin\pi=-1+i*0=-1
[/mm]
Stimmen (1) und (2)?
Zu (3),(4) weiss ich leider nicht wie man es macht.
Und zu b) habe ich nur einen Ansatz:
Die Phasen von sin und cos im Intervall [mm] [0,2\pi) [/mm] kennen wir: [mm] cos(2\pi)=cos(0)=1 [/mm] und [mm] sin(2\pi)=sin(0)=0
[/mm]
Kann ich damit was anfangen? Und wie geht es weiter?
Danke im Voraus.
lg
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Hallo,
Bei a )
Benutze : [mm] $e^{ix} [/mm] = cos(x)+isin(x)$.
Bei b)
setze ein in [mm] $e^{ix}= [/mm] cos(x)+isin(x) $ und vergleiche Real und Imaginärteil
> 1) 2) richtig
ja
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | unibasel |
> Hallo,
>
>
> Bei a )
>
> Benutze : [mm]e^{ix} = cos(x)+isin(x)[/mm].
Gut das habe ich gemacht & die korrekte Lösung erhalten. Danke.
> Bei b)
>
> setze ein in [mm]e^{ix}= cos(x)+isin(x)[/mm] und vergleiche Real
> und Imaginärteil
Verstehe ich noch nicht ganz. Kannst du mir ein Beispiel machen?
Wäre sehr nett.
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Hallo,
berechne für b) 1) [mm] $e^{i(x+2\pi)}$ [/mm] dann…
Gruss
kushkush
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