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Forum "komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Anfängerfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Mo 30.05.2011
Autor: drahmas

Aufgabe
[mm] i*(-i)+(-i)^2+i^4-i^3-(-i)^4 [/mm]

Hallo,

diese ansich recht simple Aufgabe, bereitet mir Kopfzerbrechen, da ich immer wieder auf ein falsches Ergebnis komme. Ich rechne:

[mm] i*(-i)+(-i)^2+i^4-i^3-(-i)^4 [/mm] = [mm] -i^2-i^2+i^4-i^3+i^4 [/mm] = 1+1+1-1i+1 = 4-i
Es müsste aber lediglich 1i als Ergebnis stehen.

Wo liegt da mein Denkfehler?

Vielen Dank!

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Mo 30.05.2011
Autor: Valerie20


> [mm]i*(-i)+(-i)^2+i^4-i^3-(-i)^4[/mm]
>  Hallo,
>  
> diese ansich recht simple Aufgabe, bereitet mir
> Kopfzerbrechen, da ich immer wieder auf ein falsches
> Ergebnis komme. Ich rechne:
>  
> [mm]i*(-i)+(-i)^2+i^4-i^3-(-i)^4[/mm] = [mm]-i^2-i^2+i^4-i^3+i^4[/mm] =
> 1+1+1-1i+1 = 4-i

j*(-j) = 1
[mm] (-j)^{2}= [/mm] -1
[mm] j^{4}=1 [/mm]
- [mm] j^3=j [/mm]
- [mm] (-j)^4=-1 [/mm]

einfacher wirds noch, wenn du dir jedes j als [mm] e^{j*\bruch{\pi}{2}} [/mm]
schreibst und jeweils potenzierst.

Bsp.:

[mm] (e^{j*\bruch{\pi}{2}})^{2} [/mm] = [mm] e^{j*\pi} [/mm] = -1
usw.

gruß

>  Es müsste aber lediglich 1i als Ergebnis stehen.
>  
> Wo liegt da mein Denkfehler?
>  
> Vielen Dank!


Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen: Vorzeichenfehler
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 20:40 Mo 30.05.2011
Autor: Loddar

Hallo Valerie!


Ich erhalte aber: [mm] $j^3 [/mm] \ = \ [mm] j^2*j [/mm] \ = \ (-1)*j \ = \ [mm] \red{-}j$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Di 31.05.2011
Autor: fred97


> [mm]i*(-i)+(-i)^2+i^4-i^3-(-i)^4[/mm]
>  Hallo,
>  
> diese ansich recht simple Aufgabe, bereitet mir
> Kopfzerbrechen, da ich immer wieder auf ein falsches
> Ergebnis komme. Ich rechne:
>  
> [mm]i*(-i)+(-i)^2+i^4-i^3-(-i)^4[/mm] = [mm]-i^2-i^2+i^4-i^3+i^4[/mm] =
> 1+1+1-1i+1 = 4-i
>  Es müsste aber lediglich 1i als Ergebnis stehen.
>  
> Wo liegt da mein Denkfehler?

Bei Dir ist [mm] (-i)^2= -i^2 [/mm] und  [mm] (-i)^4= -i^4. [/mm] Das ist aber grober Unfug, denn:

              [mm] (-i)^2= i^2 [/mm] und  [mm] (-i)^4= i^4. [/mm]

Rechenregel:  ist m [mm] \in \IN [/mm] gerade, so ist [mm] (-blablablubber)^m=(blablablubber)^m [/mm]

FRED

>  
> Vielen Dank!


Bezug
                
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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 Di 31.05.2011
Autor: drahmas

Perfekt, danke!
Sollte die Potenzregeln mal wieder anschauen… ;)

Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Di 31.05.2011
Autor: drahmas

Aufgabe
[mm] (-i)^5-i^3+(-i)^2+i^4-(-i)*i [/mm]

Jetzt muss ich doch noch mal ganz dumm fragen:

[mm] (-i)^5-i^3+(-i)^2+i^4-(-i)*i [/mm] = 1i-(-1i)+(-1)+1-(+1)=-1+2i

Sollte aber lediglich -1 sein.
Irgendwo verdrehe ich da immer die Vorzeichen? Habs jetzt 5 mal gerechnet, komme aber nicht auf -1?

Besten Dank

Bezug
                
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Komplexe Zahlen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Di 31.05.2011
Autor: Loddar

Hallo drahmas!


Es gilt: [mm] $(-i)^5 [/mm] \ = \ [mm] (-i)^4*(-i) [/mm] \ = \ [mm] (-1)^4*i^4*(-i) [/mm] \ = \ (+1)*(+1)*(-i) \ = \ [mm] \red{-}i$ [/mm] .


Gruß
Loddar


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