Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Di 04.08.2009 | | Autor: | Help23 |
| Aufgabe | Lösen sie folgende Gleichung in C
[mm] Z^6 [/mm] = 64
Geben sie alle Lösungen an!!! |
Hey Leute!!!
Ich brauch mal wieder eure Hilfe, denn ich weiß nicht so genau wie ich die Lösungen berechenen kann.
In meinem Mathebuch steht leider nur ein Rechenweg, bei dem die Winkel schonvorgegeben sind.
Ich weiß jedenfalls, dass hier 6 Lösungen vorhanden sind und zwei davon sind 2 und -2
Errechnet hab ich dies, indem ich einfach die 6. Wurzel aus 64 gezogen hab.
Nur jetzt weiß ich leider nicht weiter....... :-(
LG
Help23
|
|
| |
|
Hallo Help!
Verwende die  Moivre-Formel.
Für den Winkel musst Du es Dir mal in der Gauß'schen Zahlenebene anschaulich machen für $64 \ = \ 64+0*i$ .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Di 04.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Dann muss ich nochmal 2 "doofe" Fragen stellen......
Wofür steht denn das k in der Moivre - Formel????
Was muss ich dafür einsetzen????
Und wenn ich mir 64 + 0*i in der Gauß´schen Zahlenebene Vortselle, dann würde der 64 ja direkt auf der x - Achse, also auf der Reellen Achse liegen, da b=0 ist.
Hab ich dann nen Winkel von 0 Grad??????
|
|
|
| |
|
Hallo Help!
> Wofür steht denn das k in der Moivre - Formel????
> Was muss ich dafür einsetzen????
Das steht für die insgesamt 6 unterschiedlichen Lösungen (bei Deinem Beispiel). Du musst hier also die Werte $k \ = \ 0,1,...,5$ einsetzen.
> Und wenn ich mir 64 + 0*i in der Gauß´schen Zahlenebene
> Vortselle, dann würde der 64 ja direkt auf der x - Achse,
> also auf der Reellen Achse liegen, da b=0 ist.
>
> Hab ich dann nen Winkel von 0 Grad??????
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Di 04.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Ah..Klick....dann vesuch ich das jetzt mal auzusrechnen.....
Aber ne kurze zwischen Frage noch, wenn ich jetzt habe [mm] Z^3 [/mm] = 1
und mir dass in der Gauß´schen Zahlenebene Vorstelle
steht dann da 1 = 1 + 0*i ???????
Nur damit ich das richtig vestehe, wie ich das in die allgemeine Form für Z packe 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 04.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Ach..Fragen über Fragen.....
Muss ich das ganze denn dann 6 mal durchrechnen???
Also einmal für K=0, dann für K=1 usw.???????
Und dass n in der Formel wäre in unserem Fall dann 6????
Da ich ja jetzt nun schon 2 Ergebnisse weiß, also einmal die 2 und die -2 welches k müsste ich denn dann nicht mehr berechnen?????
*Grübel*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vorstellung in der Zahlenebene: am besten erst mal nur Wurzeln aus z mit |z|=1
zeichne den Einheitskreis, zeichne z auf ihm, lies den winkel [mm] \alpha [/mm] zur x-Achse ab.. fuer [mm] \wurzel[6]{z} [/mm] teile den Winkel zw. z und der x achse durch 6:
erster Wert.
da der Winkel zur x achse ja aber auch [mm] \alpha+n*2\pi, [/mm] bzw [mm] \alpha+n*360^0 [/mm] ist musst du auch noch alle die Winkel durch 6 Teilen.
dann hast du als Loesung die Winkel [mm] \alpha/6, \alpha/6+60^o,\alpha/6+120^o \alpha/6+180^o, \alpha/6+240^o \alpha/6+300^o \alpha/6+360^o=\alpha/6
[/mm]
aso 6 verschiedene Winkel, alle zugehoerigen z liegen wieder auf dem Einheitskreis.
ist |z| [mm] \ne [/mm] 1 musst du noch mit der entsprechenden pos Wurzel aus dem Betrag mult.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Help!
> und mir dass in der Gauß´schen Zahlenebene Vorstelle
> steht dann da 1 = 1 + 0*i ???????
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Di 04.08.2009 | | Autor: | Help23 |
So, ich habe jetzt mal angefangen zu rechnen.....
[mm] Z^6 [/mm] = 64
r = [mm] \wurzel{64^2 + 0^2}
[/mm]
r= 64
So nun benötige ich ja noch die Winkel:
Wenn ich mi das ganze dann in der Gauß´schen Zahlenebene Vorstelle liegt 64 ja auf der Reellen Achse und der Winkel beträgt 0°
Das ganze kann ich ja auch mathematsich berechnen, dann bekomme ich aber nur für den Sinus = 0° heraus
Denn Sinus [mm] =\bruch{b}{r}
[/mm]
Das wäre dann Sinus = [mm] \bruch{o}{64}
[/mm]
Für Cosinus würde sich ergeben
Cosinus = [mm] \bruch{a}{r}
[/mm]
das wäre dann cosinus = [mm] \bruch{64}{64} [/mm] = 1
Stimmt dass, oder habe ich da irgendwas falsch gemacht??????
Und dann müsste ich das ganze ja "eigentlich nur noch" in die Moivre - Formel einsetzen......
Wenn ich das ganze dann für k=1 mache stände bei mir dann
[mm] \wurzel[6]{64} [/mm] * [ cos( [mm] \bruch{1+2*1*\pi}{6}) [/mm] +i * sin [mm] (\bruch{0+2*1*\pi}{6})]
[/mm]
Und wenn ich das dann weiter rechene, steht dort
[mm] \wurzel[6]{64} [/mm] * [ cos( [mm] \bruch{1+2\pi}{6}) [/mm] +i * sin [mm] (\bruch{2\pi}{6})]
[/mm]
Und spätetes hier steh ich wieder auf dem schlauch...was muss ich weiter machen :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch ist die 1 in deinem cos.
cos(x)=1 fuer [mm] x=0\pm n*2\pi
[/mm]
[mm] 1=cos(0+n*2\pi)+isin(0+n*2\pi)
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{1}=cos(n/6*2\pi+i*sin(n/6*2\pi)
[/mm]
die 6 wurzeln kriegst du fuer n=0,1...,5
n=6 und n=0 sind wieder dasselbe .
wenn du jetzt noch mit der [mm] \wurzel[6]{64} [/mm] multiplizierst hast du das fuer 64 statt 1.
Wenn dus kapiert hast rechne doch mal [mm] \wurzel[6]{64i} [/mm] oder [mm] \wurzel[6]{-1} [/mm] aus.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Di 04.08.2009 | | Autor: | Help23 |
So ganz vertsehe ich das noch nicht mit dem Cosinus und was ich da in der Rechnung falsch gemacht habe.....
Also, logisch ist das schon, dass auch der Cosinus 0 sein muss, wenn ich mir das ganze in der Gauß´schen Zahlenebene Vorstelle,
Also die [mm] Z^6=64
[/mm]
denn da habe ich ja nur den Punkt a= 64 (64 + 0*i)
Nur in meinem Mathebuch steht
a = |z| * Cosinus
Dann müsste Cosinus doch sein:
Cosinus [mm] =\bruch{a}{|z|}
[/mm]
Der Betrag von z ist ja [mm] \wurzel{a^2 + b^2}
[/mm]
Das wäre in diesem Fall dann
[mm] \wurzel{64^2 + 0^2} [/mm] = 64
Und wenn ich das einsetzte steht da ja
Cosinus [mm] =\bruch{64}{|64} [/mm] = 1
Das kapier ich irgendwie noch nicht, wenn ich das ganze für Sinus mache passt es ja das 0 rauskommt :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Di 04.08.2009 | | Autor: | abakus |
> So ganz vertsehe ich das noch nicht mit dem Cosinus und was
> ich da in der Rechnung falsch gemacht habe.....
>
> Also, logisch ist das schon, dass auch der Cosinus 0 sein
> muss, wenn ich mir das ganze in der Gauß´schen
> Zahlenebene Vorstelle,
> Also die [mm]Z^6=64[/mm]
> denn da habe ich ja nur den Punkt a= 64 (64 + 0*i)
>
> Nur in meinem Mathebuch steht
>
> a = |z| * Cosinus
>
> Dann müsste Cosinus doch sein:
>
> Cosinus [mm]=\bruch{a}{|z|}[/mm]
>
> Der Betrag von z ist ja [mm]\wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
>
> Das wäre in diesem Fall dann
> [mm]\wurzel{64^2 + 0^2}[/mm] = 64
>
> Und wenn ich das einsetzte steht da ja
> Cosinus [mm]=\bruch{64}{|64}[/mm] = 1
>
> Das kapier ich irgendwie noch nicht, wenn ich das ganze
> für Sinus mache passt es ja das 0 rauskommt :-(
Hallo,
machen wir es doch mal umgedreht:
Ich gebe dir 6 verschiedene komplexe Zahlen [mm] z_0 [/mm] bis [mm] z_5 [/mm] vor:
[mm] z_0=2(cos [/mm] 0°+i*sin 0°)
[mm] z_1=2(cos [/mm] 60°+i*sin 60°)
[mm] z_2=2(cos [/mm] 120°+i*sin 120°)
[mm] z_3=2(cos [/mm] 180°+i*sin 180°)
[mm] z_4=2(cos [/mm] 240°+i*sin 240°)
[mm] z_5=2(cos [/mm] 300°+i*sin 300°)
Berechne mal von jeder dieser komplexen Zahlen ihre 6. Potenz! (Beträge potenzieren, Argumente mal 6 nehmen).
Zusatzfrage: Was ist mit [mm] z_6=2(cos [/mm] 360°+i*sin 360°)?
Danach siehst du bestimmt klarer.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 04.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Also, wenn ich die Sachen ausrechne fangen die Ergebnisse an sich zu wiederhohlen, das liegt doch aber daran, das das Ganze einen Kreis beschreibt.....
Ich kann die Aufgaben mit der Moivre - Formel auch lösen, das hab ich jetzt vestanden, ich versteh eben nur nich, warum ich für den Cosinus 1 rausbekomme wenn ich das mit dem Satz des Phythagoras ausrechne
Ich meine, ich müsste die Winkel ja berechnen, wenn [mm] b\not=0 [/mm] ist.......
Das ist eigentlich nur noch mein eigentliches Problem
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
editiert, weil hier Unsinn stand]
Du sollst ja fuer das A rgument von z=64 [mm] cos(\phi)=1 [/mm] rauskriegen. und damit fuer den Winkel [mm] 0^o [/mm] oder [mm] 360^o [/mm] usw.denn [mm] cos(0^o)=1. [/mm] Was ist da die Schwierigkeit. Wenn du ne reelle Zahl in der Gaussebene eintraegst liegt sie doch auf der x-achse, hat also zu ihr den Winkel [mm] \phi=0.
[/mm]
(vielleicht hast du cos(1) und cos(0)=1 verwechselt?
cos(1)=0.54?)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 04.08.2009 | | Autor: | Help23 |
Ok, das habe ich verstanden....
Ich dachte aber, ich müsste mit dem Satz des Phytagoras den Winkel von Cosinus ausrechnen (können) und den so errechneten Winkel in die Moivre - Formle packen,also Cos + k2pi......
Das kann dann aber nicht sein oder?????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Ich dachte aber, ich müsste mit dem Satz des Phytagoras
> den Winkel von Cosinus ausrechnen (können)
nein, der satz des pythagoras sagt absolut nichts über die winkel aus, der fordert an einer Stelle orthogonalität, sonst nichts
Den errechneten winkel kriegt man in der regel mit dem Arkustangens, je nach quadranten muss man da manchmal noch [mm] $\pm\pi$ [/mm] draufaddieren. Hier ist nichts zu rechnen, weil du ja weißt, dass die 64 auf der reellen Achse liegt, und daher das argument (=winkel) 0 ist. Wenn du es nicht glaubst, dann kannst du ja mal google fragen, was arctan(0) ist.
> errechneten Winkel in die Moivre - Formle packen
ja. Spezielle Werte von sinus und kosinus für [mm] $\pi$, $\pi/2$, $\pi/3$, $\pi/4$ [/mm] sollte imho jeder nach der 8-9 Klasse exakt ausrechnen können, schöne übung zum satz des pythagoras übrigens... In deinem beispiel brauchst du nur die Werte für [mm] $cos(\pi/3)$ [/mm] und die vielfachen des Winkels, die wurzeln liegen alle auf einem regelmäßigen sechseck, das ist ja nichts anderes, als das was diese formel von moivre sagt.
|
|
|
|
