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Wieder etwas zum Konbeln.
ICh hab eine Lösungsansatz, der aber sicher nicht ganz korrekt ist. Wie würdet ihr folgende Aufgabe lösen:
Komplexe Zahlen z lassen sich auf zwei verschiedene Weisen darstellen: z=x+iy (mit i=[mm]\wurzel{-1}[/mm]) und [mm] z=r*e^i*phi [/mm] .
Dabei gilt für den Betrag |z|=r die Beziehung: |z|=z*z^*=x²+y².
Zeige, dass folgende Beziehungen gelten:
[mm] e^i*phi= [/mm] cos(phi)+ i*sin(phi)
[mm] |e^i*phi|= [/mm] 1
Hilfrestellung: Verwende die Reihenentwicklung der auftretenden Funktionen!
Bin über jede Hiulfestellung dankbar!!!
Lieber Gruß von Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 13.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Björn!
Da gibt es nicht viel zu Knobeln, das sind Standardresultate.
Wir haben die folgenden Reihenentwicklungen:
[mm]e^z = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}[/mm],
[mm]\sin(z) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm],
[mm]\cos(z) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}[/mm].
Damit folgt nun für [mm]z=i\varphi[/mm]:
[mm]e^{i\varphi} = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(i\varphi)^n}{n!}[/mm]
[mm] = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} i^n \frac{\varphi^n}{n!}[/mm]
[mm] = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} i^{2n} \frac{\varphi^{2n}}{(2n)!} +
\sum\limits_{n=0}^{+\infty} i^{2n+1} \frac{\varphi^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
[mm] = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{\varphi^{2n}}{(2n)!} +
\sum\limits_{n=0}^{+\infty} i \cdot (-1)^n \frac{\varphi^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
[mm] = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{\varphi^{2n}}{(2n)!} + i
\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{\varphi^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
[mm]=cos(\varphi) + i \sin(\varphi)[/mm].
Die zweite Beziehung folgt sofort aus dem trigonometrischen Pythagoras:
[mm]|e^{i\varphi}| = |cos(\varphi) + i \sin(\varphi)| = \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) = 1[/mm].
Alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Di 13.04.2004 | | Autor: | phymastudi |
Hallo Stefan!
Ich bin baff. Es fasziniert mich immer wieder, wie du so schnell eine Lösung parat hast. dein mathematisches Wissen scheint unerschöpflich. Ich habe jetzt auch den Fehler in meinem Ansatz. Ich danke dir sehr!
Mfg Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Di 13.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Björn,
ich danke dir für deine netten Worte, aber leider trifft das nicht zu. Mein Wissen ist angesichts der Fülle mathematischer Aussagen und Teilgebiete leider trotz abgeschlossenen Mathestudiums verschwindend gering. Aber man kann ja daran arbeiten...
Liebe Grüße
Stefan
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