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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo,
ich habe folgendes Problem,
[mm] \wurzel[3]{8*z_{2}+z_{1}*(z_{2})^3}
[/mm]
[mm] z_{1} [/mm] = 3(-1+i)
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}e^{\bruch{i\pi}{4}}
[/mm]
Mein Ansatz dazu ist folgender
[mm] 8*z_{2}= [/mm] (16-16i)
Wie berechne ich nun die 3 Potenz von [mm] z_{2}
[/mm]
umgeschrieben lautet das ja
[mm] \wurzel{2}*(Cos(\bruch{\pi}{4})+i* Sin(\bruch{\pi}{4}))
[/mm]
jetzt muss ich doch auf die arithmetische form kommen?
[mm] \wurzel{2}(\bruch{\wurzel{2}}{2}+i\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] = (1 + 1i)
Oder nicht??
Und jetzt die Potenz da dört es bei mir auf kann mir jemand helfen?
und die dritte Wurzel.
Bitte schickt mir nur die Lösungstipps damit ich es selbst lösen und verstehen kann.
Gruß Amarradi
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Hallo, Amarradi
$16 - [mm] 16\iota [/mm] = [mm] 16*\sqrt{2}*e^{\iota \pi/4}$
[/mm]
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Ich würde dir hier eher empfehlen, für's Potenzieren die Form [mm]r \cdot e^{i \cdot \varphi}[/mm] zu behalten.
Dann gilt: [mm]z_2^3=(\wurzel{2} \cdot e^{\bruch{i\pi}{4}})^3=\wurzel{2}^3 \cdot e^{(\bruch{i\pi}{4}) \cdot 3}=2\wurzel{2} \cdot e^{\bruch{i \cdot 3\pi}{4}[/mm]
Und zwei Zahlen [mm]r_1 \cdot e^{i \cdot \varphi_1}[/mm] und [mm]r_2 \cdot e^{i \cdot \varphi_2}[/mm] multiplizierst du, indem du die Beträge multiplizierst, und die Argumente addierst: [mm]r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i \cdot (\varphi_1 + \varphi_2)[/mm].
Das erleichtert dir erstmal den zweiten Summand in der Klammer.
Rechne erstmal so weit, und poste deine Zwischenergebnisse. Dann können wir ja weitersehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo hab gerade einen tippfehler bemerkt, [mm] z_{1}=3(-1+i)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
danke erstmal für die schnelle Hilfe,
[mm] r_{1}*r_{2} [/mm] =
[mm] \wurzel{((-2)^2+2^2)}*2\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{8}*2\wurzel{2} [/mm] = [mm] \wurzel{64} [/mm] = 8
[mm] \varphi_{1}+\varphi_{2} =Arctan(-1)+Arctan(\bruch{3}{4})
[/mm]
Mein vorläufiges Ergebnis
[mm] \wurzel{64}e^{-45^ \circ+36,9^\circ} [/mm] = [mm] \wurzel{64}e^{-8,1^\circ}
[/mm]
Ist das richtig so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Sa 22.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Hier hab ich nicht ganz verstanden, was du gemacht hast, wenn ich ehrlich bin...
> [mm]r_{1}*r_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{((-2)^2+2^2)}*2\wurzel{2}
[/mm]
> [mm]\wurzel{8}*2\wurzel{2}[/mm] = [mm]\wurzel{64}[/mm] = 8
> [mm]\varphi_{1}+\varphi_{2} =Arctan(-1)+Arctan(\bruch{3}{4})[/mm]
Welche Beträge und welche Argumente hast du hier multipliziert / addiert?
Gehen wir's mal so an: was brauchen wir? Zuerst brauchen wir [mm]z_2^3=(\wurzel{2} \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{4}})^3=2\wurzel{2} \cdot e^{i \cdot \bruch{3\pi}{4}}[/mm].
Dann brauchen wir erstmal [mm]z_1[/mm] in der anderen Darstellung. Der Betrag von [mm]z_1[/mm] ist [mm]\wurzel{(-3)^2+3^2}=\wurzel{18}=3\wurzel{2}[/mm]
Das Argument ist [mm]\bruch{3\pi}{4}[/mm].
Somit lautet die Zahl: [mm]z_1=2\wurzel{2} \cdot e^{i \cdot \bruch{3\pi}{4}}[/mm].
Jetzt das Produkt: [mm]z_1 \cdot z_2^3\ =\ 3\wurzel{2} \cdot 2\wurzel{2} \cdot e^{i \cdot (\bruch{3\pi}{4} + \bruch{3\pi}{4})}\ =\ 12 \cdot e^{i \cdot \bruch{3\pi}{2}}[/mm].
Das kannst du jetzt umwandeln. Dabei ist zu beachten, dass [mm]cos(\bruch{3\pi}{2})=0[/mm] und [mm]sin(\bruch{3\pi}{2})=-1[/mm].
Jetzt noch den ersten Summand aus der Wurzel umwandeln: [mm]8z_2=8\wurzel{2} \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{4}}\ =\ 8\wurzel{2} \cdot (\bruch{\wurzel{2}}{2} + i \cdot \bruch{\wurzel{2}}{2})\ =\ 8+8i[/mm].
Somit muss man also berechnen: [mm]\wurzel[3]{8+8i+(-12i)}[/mm].
Das wandelst du am besten mitteln Betrag & Argument wieder in die [mm]r \cdot e^{i \cdot \varphi} -[/mm]Version um, um dann die dritte Wurzel zu ziehen.
Hoffe nur, dass ich mich jetzt nirgends verrechnet habe...
> Mein vorläufiges Ergebnis
>
> [mm]\wurzel{64}e^{-45^ \circ+36,9^\circ}[/mm] =
> [mm]\wurzel{64}e^{-8,1^\circ}
[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Meines Wissens schreibt man Winkel in der e-Funktion immer im Bogenmaß, nie im Gradmaß... bin mir aber nicht sicher. Sicher bin ich mir, dass im Exponenten der e-Funktion auf jeden Fall der Faktor i fehlt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Dann hab ich die exponenten addiert [mm] z_{1} [/mm] hat den Exponent von [mm] \varphi_{1}= [/mm] -1
Plus den von [mm] z_{2} [/mm] = [mm] \varphi_{2}=\bruch{3\pi}{4} [/mm]
[mm] \varphi_{1}+\varphi_{2}=-1+\bruch{3\pi}{4}\approx1,36
[/mm]
Bitte korrigiere mich, ich hab es zumindest bei deiner ersten Antwort so verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi,
wie Du schon selber geschrieben hast, steht in der Exponentialdarstellung [mm] $\varphi=i*arctan(y/x)$ [/mm] im Exponenten (dabei muß man aber aufpassen, dass man im richtigen Quadranten landet und gegebenenfalls das Vorzeichen anpassen). Deshalb verstehe ich nicht, wie Du auf [mm] $\varphi_{1}=-1$ [/mm] kommst.
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi Amarradi,
zum Glück habe ich in meiner Schulzeit die Verwendung von Taschenrechnern nur gestreift...
Aaaalso: zum Addieren/Subtrahieren ist die cartesische Form ($Realteil + i*Imaginaerteil$) bestens geeignet, für Multiplikation, Division und das Potenzieren bietet sich die Polardarstellung an [mm] ($Betrag*e^{i*Argument}$).
[/mm]
Du hast [mm] $z_{1}=2(i-1)=2\wurzel{2}e^{\bruch{3i\pi}{4}}$
[/mm]
und [mm] $z_{2}=\wurzel{2}e^{\bruch{i\pi}{4}}=1+i$
[/mm]
Wie Friedrich schon schrieb, ist also [mm] $8z_{2}=8+i$. $z_{2}^{3}$ [/mm] ist [mm] $2\wurzel{2}e^{\bruch{3i\pi}{4}}$ [/mm] (hatten wir auch schon). Also ist [mm] $z_{1}z_{2}^{3}=8*e^{\bruch{3i\pi}{2}}=-8i$
[/mm]
so weit erst mal. Jetzt bist Du wieder dran (viel gibt's nicht mehr zu tun und das Endergebnis wird eine natürliche Zahl sein).
Gruß, Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
> Hier hab ich nicht ganz verstanden, was du gemacht hast,
> wenn ich ehrlich bin...
Hier hat ich [mm] r_{1}*r_{2} [/mm] gerechnet
das macht der Betrag von [mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{-2+2i}
[/mm]
(das war der Schreibfehler meinerseits.)
Das multipliziert mit [mm] r_{2}=
[/mm]
[mm] r_{2}= 2\wurzel{2}
[/mm]
> > [mm]r_{1}*r_{2}[/mm] =
> > [mm]\wurzel{((-2)^2+2^2)}*2\wurzel{2}
[/mm]
Hier bin ich mir selbst nicht ganz sicher gewesen.
[mm] \varphi [/mm] errechnet sich doch aus [mm] \varphi=Arctan(\bruch{b}{a}) [/mm] wobei b=imaginärteil und a= realteil
da von [mm] z_{1} [/mm] der Realteil -2 ist und der Imaginärteil +2 ist hab ich [mm] \bruch{2}{-2} [/mm] gerechnet.
> > [mm]\wurzel{8}*2\wurzel{2}[/mm] = [mm]\wurzel{64}[/mm] = 8
> > [mm]\varphi_{1}+\varphi_{2} =Arctan(-1)+Arctan(\bruch{3}{4})[/mm]
das macht dann bei mir zumindest von [mm] r_{1}=(-1)
[/mm]
bei [mm] r_{2} [/mm] war ich mir nicht ganz sicher ob ich das [mm] \pi [/mm] mitnehmen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
> > Hier hab ich nicht ganz verstanden, was du gemacht hast,
>
> > wenn ich ehrlich bin...
> Hier hat ich [mm]r_{1}*r_{2}[/mm] gerechnet
> das macht der Betrag von [mm]z_{1}=\wurzel{-2+2i}[/mm]
....
> da von [mm]z_{1}[/mm] der Realteil -2 ist und der Imaginärteil +2
Ist [mm] $z_{1}$ [/mm] denn nun $(2(i-1)$ (gibt "schönes" Ergebnis), oder die Wurzel daraus (ergibt schreckliches Gewusel)?
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
[mm] z_{1}= [/mm] 2(-1+i)----> Tippfehler war 3(xxx) statt 2(xxx)
[mm] z_{2}=\wurzel{2}e^i\bruch{3}{4}
[/mm]
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