Komplexe Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 Di 18.01.2005 | | Autor: | geckolux |
Hallo allerseits,
ich wäre sehr dankbar wenn jemand mir erklären könnte wie ich folgende Aufgabe zu lösen habe:
Bestimmen Sie in alle Zahlen z, für die gilt:
a) [mm] z^{3} [/mm] = 1
b) [mm] z^{4} [/mm] = 1
c) [mm] z^{6} [/mm] = 1
(diese Zahlen heißen(3-te, 4-te, 6-te ) Einheitswurzel)
Zeigen Sie, dass diese Zahlen in jedem Falle eine zyklische Gruppe bilden und geben Sie jeweils alle Erzeuger der Gruppe an.
Das ist die Aufgabe und leider habe ich keinen schimmer von komplezen Zahlen, hoffe ihr wisst mir zu helfen.
mfg gecko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:37 Di 18.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo gecko!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Stelle dir die gaußsche Zahlenebene vor. Ihre X-Achse beschreibt die Realachse, die Y- die Imaginärachse. Eine komplexe Zahl $a+bi$ hat also die Koordinaten $(a,b)$. Aller komplexen Zahlen, die auf dem Einheitskreis (dessen Radius 1 ist) um den Ursprung liegen, haben den Betrag (der Betrag ist als Abstand vom Ursprung definiert) 1.
Du erhältst nun die n-te primitive Einheitswurzel [mm] $\omega\in\IC$ [/mm] über [mm] $\omega=e^{i\cdot\frac{2\pi}{n}}$. [/mm] Omega selbst beschreibt nun die komplexe Zahl auf dem Einheitskreis, deren Verbindungsstrecke zum Ursprung mit der Realachse den Winkel [mm] $\frac{2\pi}{n}$ [/mm] einschließt. Potenzierst du [mm] $\omega$ [/mm] nun, so erhälst du z.B. [mm] $\omega^2=e^{i\cdot \frac{2\pi}{n}\cdot 2}$. [/mm] Diese komplexe Zahl schließt nun mit der Realachse den Winkel [mm] $\frac{2\pi}{n}\cdot [/mm] 2$ ein. Für andere, natürliche Exponenten geht dies immer so weiter, bis zu dem Punkt, an dem du dich ein Mal um den Einheitskreis gedreht hast - dies ist genau dann der Fall, wenn du [mm] $\omega^n$ [/mm] berechnest. Du erhältst [mm] $\omega ^n=e^{i 2\pi}=1$. [/mm] Dementsprechend gilt [mm] $\omega^{n+m}=\omega^{n}\cdot\omega^{m}=\omega^m$. [/mm] Damit ist die Grundvoraussetzung für eine zyklische Gruppe geschaffen.
Schaffst du den Rest alleine?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 19.01.2005 | | Autor: | geckolux |
hy nochmal,
vielen dank für diese tolle antwort!wollte mich nochmal entschudigen dass ich jetzt erst antworte, mir war es nicht möglich früher das inet zu nutzen.
Also ich verstehe jetzt schon ein wenig mehr, vorallem wie es mit den komplexen zahlen aussieht,..!
aber mein Problem ist es jetzt daraus alle Tahlen aus [mm] \IC [/mm] zu bestimmen, die die 3 Vorgaben erfüllen,-..!
hoffe kannst mir noch en kleinen Tipp geben!
vielen Dank
mfg gecko
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Hallo,
der Tipp heißt Eulersche Formel:
[mm]z^{n} \; = \;1\; = \;e^{i\varphi } \; = \;\cos \left( \varphi \right)\; + \;i\;\sin \left( \varphi \right)[/mm]
Vergiss bei der Lösung nicht, daß die trigonometrischen Funktionen periodisch sind.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 19.01.2005 | | Autor: | geckolux |
Hy,
ist dies nicht auch ohne diese eulersche Formel, denn wir haben diese noch nicht in der Vorlesung gesehen,.. ;(
hoffe es gibt noch en anderen Weg,..
vielen dank
mfg gecko
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Hallo geckolux,
natürlich gibt es einen anderen Weg, und zwar den der Polynomdivision:
Die Gleichung [mm]z^{n} \; = \;1[/mm] schreibst Du dann so:
[mm]P_n \left( z \right)\; = \;z^n \; - \;1[/mm]
Dies ist ein Polynom in z. Außerdem hat dieses Polynom immer eine Nullstelle, die sofort abzulesen ist: [mm]z\; = \;1[/mm]
Das Polynom läßt sich also so schreiben:
[mm]P_n \left( z \right)\; = \;\left( {z\; - \;1} \right)\;R_n \left( z \right)[/mm],
wobei das Polynom [mm]R_n \left( z \right)[/mm] noch zu bestimmen ist.
Für n gerade ergibt sich eine weitere Nullstelle: [mm]z\; = \;-1[/mm]
Hier läßt sich das Polynom so schreiben:
[mm]P_n \left( z \right)\; = \;\left( {z\; - \;1} \right)\;\left( {z\; + \;1} \right)R_n \left( z \right)[/mm],
wobei das Polynom [mm]R_n \left( z \right)[/mm] noch zu bestimmen ist.
Die zu bestimmenden Polynome für n=3,4,6 lassen sich dann in quadratische Polynome zerlegen, die dann noch zu lösen sind.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Do 20.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Betrag der Wurzeln muß 1 sein, d.h. sie liegen auf dem Kreis mit Radius 1 um 0. die 3. Wurzel 3mal hintereinander muß wieder 1geben also liegen diie Werte bei [mm] 2\pi/3 [/mm] und [mm] 4\pi3. [/mm] entsprechend bei den anderen Wurzein. da kannst du sie ablesen und dann auch durch ausmultiplizieren sehen,dasss es richtig ist
Die 1 gehört natürlich auch dazu und die Gruppeneigenschaft sieht man auch gleich
Gruss leduart
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