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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:04 Di 04.12.2007 | | Autor: | Albtalrobin |
| Aufgabe | Charakterisieren Sie geometrisch (Skizze) diejenigen z [mm] \in \IC, [/mm] für die gilt:
(a) 0 < [mm] Re(e^{i*\bruch{\pi}{4}}z) [/mm] < 1
(b) |z| = Re(z) +1
(c) Im [mm] (\bruch{z-i}{z-1}) [/mm] = 0 |
Wie komm ich auf diese z?? und vor allem, was soll geometrisch (Skizze) bedeuten, wie zeichne ich sowas??? kann mir da jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Albtalrobin,
versuche, die Ausdrücke umzuformen.
Setze mal [mm] $z:=x+i\cdot{}y$
[/mm]
Dann bekommst du bei der (b) sehr schnell ne Lösung, wenn du alles mal nach $y$ auflöst...
Bei der (c) geht das ähnlich, [mm] $z=x+i\cdot{}y$ [/mm] ersetzen und den Nenner dann mit dem komplex Konjugierten erweitern, dann wird der Nenner reell.
Dann den Zähler zusammenfassen und den Imaginärteil rauspicken und schauen, wann der 0 ist.
Damit solltest du in (b) und (c) auch schnell auf eine geometrische Darstellung kommen.
Bei der (a) überlege mal, welche komplexe Zahl durch [mm] $e^{i\cdot{}\frac{\pi}{4}}=1\cdot{}e^{i\cdot{}\frac{\pi}{4}}$ [/mm] dargestellt wird...
Die dann mit [mm] $z=x+i\cdot{}y$ [/mm] multiplizieren, den Realteil davon schnappen und dann schauen, wann die Ungleichungen gelten...
LG
schachuzipus
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Okay, mercie!
Ich hab für b) jetzt y= [mm] \wurzel{2x+1}. [/mm] Aber wie stell ich das jetzt geometrisch dar??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Di 04.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich hab für b) jetzt y= [mm]\wurzel{2x+1}.[/mm] Aber wie stell ich
> das jetzt geometrisch dar??
Das ist eine Funktion, zeiche die doch einfach mal! (Also so wie du schon immer, z.B. in der Schule, Funktionen gezeichnet hast: Definitionsbereich bestimmen, ein paar Funktionswerte bestimmen, gucken ob die Funktion irgendwo was unerwartetes macht, Punkte `vernuenftig' verbinden.)
LG Felix
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Danke nochmal ... 
Ich hab jetzt aber noch ein kleines Problem ... der Nenner bei c) wird nicht reell wenn ich ihn mit x-iy erweitere ...
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Hallo nochmal,
kurzer Hinweis zu deiner Lösung von (b) vorab.
Bedenke, dass du die beiden Wurzelzweige [mm] $y=\pm\sqrt{2x+1}$ [/mm] erhältst.
Der Nenner in (c) ist [mm] $z-1=x+i\cdot{}y-1=(x-1)+i\cdot{}y$
[/mm]
Nun erweitere mal den Bruch mit [mm] $(x-1)\red{-}i\cdot{}y$
[/mm]
Dann wird der Nenner wohl oder übel reell 
LG
schachuzipus
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ok, stimmt, danke!
aber bei der a) hab ich jetzt y < x und x < y + [mm] \bruch{1}{cos (\pi /4} [/mm] raus. Stimmt das? und wie stell ich das graphisch dar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 04.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du sagen, wie du dazu kommst? ich hab für das = statt kleine ne Geradengleichung,die aber nicht deine ist und auf y<x komm ich nicht.
Gruss leduart
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Also [mm] Re(e^{i\bruch{\pi}{4}}z) [/mm] soll zwischen 0 und 1 liegen. Also hab ich nachher dastehen:
0 < [mm] x*cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] - [mm] y*sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] < 1
wie soll ich da weitermachen??
Und noch ne kurze Frage:
Der Betrag von [mm] \bruch{z-i}{z-1} [/mm] = 1
kann ich das auch mit der kompexen konjugierten erweitern und dann den Real und Imagiärteil rausziehen oder gibts da noch nen Trick?? Wenn ich das wie bei Aufgabe c) mach kommt irgend ein ellenlanger Term raus ...
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Hallo nochmal,
oh, du hast in (a) eine komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung mit einer in Normalform multipliziert
Wandele zuerst [mm] $e^{i\frac{\pi}{4}}$ [/mm] um in die Form [mm] $a+b\cdot{}i$
[/mm]
Dann mit [mm] $z=x+y\cdot{}i$ [/mm] multiplizieren.
Zur anderen Frage:
Einen "einfachen" Trick sehe ich nicht, aber nach ein bisschen Rechnerei und Zusammenfassen kommt man auf die Gleichung [mm] $\sqrt{x^2+y^2-2y+1}=1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x^2+(y-1)^2=1$
[/mm]
Und das ist doch ne nette Lösung (auch im geometrischen Sinne)
LG
schachuzipus
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bei Augabe a) hab ich schon [mm] e^{i+\bruch{\pi}{4}} [/mm] erst in die Form a+bi gebracht. Dann steht da [mm] Re(xcos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + [mm] iycos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + [mm] xisin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] - [mm] ysin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] ) = [mm] xcos\bruch{\pi}{4}- ysin\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Un das muss dann ja zwischen 0 und 1 liegen ...
Und zu d):
Ich erweiter genau wie bei c) mit der komplexen konjugierte oder?? und der Realteil ist dann alles ausser (-y-x+1), also auch alles im Nenner??
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Hallo,
es ist doch [mm] $e^{i\red{\cdot{}}\frac{\pi}{4}}$, [/mm] nicht "+"
Du kannst doch ganz konkret die komplexe Zahl angeben, die durch [mm] $e^{i\cdot{}\frac{\pi}{4}}$ [/mm] dargestellt wird.
Die hat Länge 1, der Winkel [mm] $\frac{\pi}{4}$ [/mm] entspricht doch $45°$
Das ist doch die Zahl [mm] $w=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}i$
[/mm]
Benutze mal diese Darstellung, dann klappt das ....
Was genau ist (d) ??
[mm] \red{\text{Edit}}: [/mm] Ah, das ist das letzte Bsp.
Ja, wenn du das wie beschrieben schön erweiterst und zusammenfasst, kommst du auf einen Ausdruck der Form [mm] $\frac{a+b\cdot{}i}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\cdot{}i$
[/mm]
Also musst du den Nenner für die Bestimmung des Realteils berücksichtigen !!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Mi 05.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ganz versteh ich deinen Einwand zu [mm] e^{i\pi/4}=cos\pi/4+isin\pi/4 [/mm] nicht, das ist doch einfach dasselbe wie [mm] \wurzel{2}/2+i*\wurzel{2}/2 [/mm] ?
und es ist allgemeiner, was machtest du wenn da [mm] 3/7\pi [/mm] statt [mm] 1/4\pi [/mm] stünde?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ja, du hast schon recht, ich finde nur, dass sich hier mit dem "schönen" Winkel und Länge 1 mit der Darstellung als [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}i$ [/mm] die Lösung der Ungleichung einfacher bestimmen lässt.
LG
schachuzipus
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