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| Aufgabe | a) Wandeln Sie die folgendende Komplexe Zahl in die Form (z=x+yi)
um.
z= [mm] \bruch{1}{\cos(\pi/6) - i*\sin(\pi/6)}
[/mm]
b) Welchen Betrag und welches Argument hat z? |
Tja, ich weiß nich wie ich an diese Aufgabe rangehen soll...
Hab's mit der Euler Formel versucht, aber die bringt mich nicht wirklich weiter.
Was tun???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a) Wandeln Sie die folgendende Komplexe Zahl in die Form
> (z=x+yi)
> um.
> z= [mm]\bruch{1}{\cos(\pi/6) - i*\sin(\pi/6)}[/mm]
> b) Welchen
> Betrag und welches Argument hat z?
> Tja, ich weiß nich wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll...
> Hab's mit der Euler Formel versucht, aber die bringt mich
> nicht wirklich weiter.
Aber die Euler Formel ist doch eine gute Idee. - Es ist also
[mm]z=\frac{1}{\cos(\pi/6) - \mathrm{i}\sin(\pi/6)}=\frac{1}{\cos(-\pi/6) + \mathrm{i}\sin(-\pi/6)}= \frac{1}{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6}=\cos(\pi/6)+\mathrm{i}\sin(\pi/6)[/mm]
Eine andere Möglichkeit ist, mit der Konjugierten des Nenners zu erweitern:
[mm]z=\frac{1}{\cos(\pi/6) - \mathrm{i}\sin(\pi/6)}=\frac{\cos(\pi/6)+\mathrm{i}\sin(\pi/6)}{\cos^2(\pi/6)+\sin^2(\pi/6)}=\cos(\pi/6)+\mathrm{i}\sin(\pi/6)[/mm]
da [mm] $\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)=1$ [/mm] ("trigonometrischer Pythagoras")
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Also ist dann x= [mm] \cos(\pi/6) [/mm] und y=i* [mm] \sin(\pi/6) [/mm] ?
und demzufolge müsste der Betrag |z|=1 sein und das Argument
[mm] \theta=\pi/6?
[/mm]
ist das richtig?
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> Also ist dann x= [mm]\cos(\pi/6)[/mm] und y=i* [mm]\sin(\pi/6)[/mm] ?
Benahe: es ist [mm] $y=\sin(\pi/6)$, [/mm] die imaginäre Einheit lass' mal schön weg.
> und demzufolge müsste der Betrag |z|=1 sein und das
> Argument
> [mm]\theta=\pi/6?[/mm]
>
> ist das richtig?
Ja, ich denke schon, das war ja beim Weg über die Euler-Formel (Polardarstellung) in der Form [mm] $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6}$ [/mm] direkt ablesbar.
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vielen Dank!
ich weiß gar nich was ich ohne dich gemacht hätte.
Bin gerade total im Mathestress und da taucht schon mal das eine od. andere Brett auf, das ich ohne euch (matheforum) nicht vom Kopf bekommen hätte!
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