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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Fr 15.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Zeigen Sie: [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \IC [/mm] sind genau dann Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, wenn gilt:
[mm] a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1} [/mm] |
Hallo,
ich blick mal wieder nicht ganz durch bei der Aufgabe. Zu zeigen sind ja zwei Implikationen:
1. Ecken gleichseit. Dreieck ==> Aussage gilt.
2. Aussage gilt ==> Ecken eines gleichseit. Dreiecks
Bloß wie funktioniert das? Was kann ich folgern, wenn a1, a2, a3 Ecken eines gleichseitigen Dreiecks sind??
Oder hat mir irgendjemand auch nen anderen Tipp?
Danke schon mal.
Gruß Michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Fr 15.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Seiten alle gleich heisst doch:|a1-a2|=|a1-a3|=|a2-a3|
daraus muss deine Formel, und aus der Formel das folgen.
Wenn die Beträge gleich sind, dann natürlich auch die Quadrate, du musst also nicht mit Wurzeln rechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Fr 15.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Hi leduart,
also ich glaub ich hab dich verstanden. Bin auch dann mal nach deinem Plan ans Werk gegangen, hab aber nicht das erwünschte herausbekommen.
So hab ichs gemacht:
Seiten gleich ==> [mm] (a_{1}-a_{2})^{2}=(a_{2}-a_{3})^{2}=(a_{3}-a_{1})^{2}
[/mm]
Binom. Formel: [mm] a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}=a_{2}^{2}-2a_{2}a_{3}+a_{3}^{2}=a_{3}^{2}-2a_{3}a_{1}+a_{1}^{2}
[/mm]
Weil die alle gleich sind darf ich folgendes machen:
[mm] a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}+a_{2}^{2}-2a_{2}a_{3}+a_{3}^{2}+a_{3}^{2}-2a_{3}a_{1}+a_{1}^{2}-3(a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2})=0
[/mm]
Wenn ich das aber zusammenfasse und vereinfache bleibt am Ende stehen:
[mm] a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=4a_{1}a_{2}-2a_{2}a_{3}-2a_{3}a_{1}
[/mm]
Und das ist leider nur FAST die Aussage auf die ich kommen will.
Hab ich was falsch gemacht auf dem Weg oder bin ich einen falschen Weg gegangen??
Danke schon mal!
Gruß Michi
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[mm]|z|^2 = z^2[/mm] ist im Komplexen falsch. Richtig ist vielmehr: [mm]|z|^2 = z \bar{z}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 15.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Hallo,
jo stimmt. Hätt ich auch selbst draufkommen können 
Naja habs jetzt mal umgeschrieben und komm dann, wenn man definiert [mm] a_{1}=a+ib, a_{2}=c+id, a_{3}=e+if
[/mm]
auf
[mm] |a_{1}-a_{2}|=(a-c)^{2}+(b-d)^{2}
[/mm]
[mm] |a_{2}-a_{3}|=(c-e)^{2}+(d-f)^{2}
[/mm]
[mm] |a_{1}-a_{3}|=(a-e)^{2}+(b-f)^{2}
[/mm]
Wie komm ich da aber jetzt weiter? Das kann ich ja jetzt nicht so geschickt verwenden.
Danke schon mal
Gruß Michi
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>
> Naja habs jetzt mal umgeschrieben und komm dann, wenn man
> definiert [mm]a_{1}=a+ib, a_{2}=c+id, a_{3}=e+if[/mm]
> auf
> [mm]|a_{1}-a_{2}|^2=(a-c)^{2}+(b-d)^{2}[/mm]
> [mm]|a_{2}-a_{3}|^2=(c-e)^{2}+(d-f)^{2}[/mm]
> [mm]|a_{1}-a_{3}|^2=(a-e)^{2}+(b-f)^{2}[/mm]
>
> Wie komm ich da aber jetzt weiter? Das kann ich ja jetzt
> nicht so geschickt verwenden.
Hallo,
ich denke schon, daß man es verwenden kann.
Da die Seiten gleichlang sind, hast Du nun Gleichungen
[mm] (a-c)^{2}+(b-d)^{2}=(c-e)^{2}+(d-f)^{2}
[/mm]
[mm] (a-c)^{2}+(b-d)^{2}=(a-e)^{2}+(b-f)^{2}
[/mm]
[mm] (c-e)^{2}+(d-f)^{2} =(a-e)^{2}+(b-f)^{2}
[/mm]
Unter Berücksichtigung von
[mm] a_{1}=a+ib, a_{2}=c+id, a_{3}=e+if
[/mm]
könntest du nun
[mm] a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=...
[/mm]
aufschreiben, und dann mithilfe der drei Gleichungen oben zu
...= [mm] a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1} [/mm] umformen.
Gruß v. Angela
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