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Komplexe Zahlen: potenzieren einr Komplexen Zah
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Sa 28.01.2006
Autor: niteda

Aufgabe
z= imaginäre Zahl "hoch" 2005

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


komme beim ergebnis auf die Zahl -1. kann mir einer sagen ob das ergebnis richtig ist? und evtl. erklären?? vielen dank schonmal!!

        
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Komplexe Zahlen: Potenz zerlegen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Sa 28.01.2006
Autor: Loddar

Hallo niteda!


Meinst Du hier $z \ = \ [mm] i^{2005}$ [/mm] ?

Dann stimmt Dein Ergebnis nicht [notok] !


Ansatz:  [mm] $i^{2005} [/mm] \ = \ [mm] i^{2004}*i^1 [/mm] \ = \ [mm] i^{4*501}*i [/mm] \  = \ [mm] \left( \ i^4 \ \right)^{501}*i [/mm] \ = \ ...$


Gruß
Loddar

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Sa 28.01.2006
Autor: niteda

Hallo erstmal... Es kann als ergebnis doch nur 1, +1, i, -i rauskommen oder? kannst du deine Rechnung evtl. nochmal erläutern?  
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Komplexe Zahlen: Weiter rechnen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Sa 28.01.2006
Autor: Loddar

Hallo niteda!


> Es kann als ergebnis doch nur 1, +1, i, -i rauskommen oder?

[ok] Völlig richtig! Aber meine Rechnung ist ja auch noch gar nicht zu Ende ...

Was ergibt denn [mm] $i^4$ [/mm] und damit der Gesamtterm?


Gruß
Loddar

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Sa 28.01.2006
Autor: niteda

i hoch 4= i hoch 3*i hoch 1=i hoch 2*i hoch 1=-1  ????

kannst du mir ein tip geben? Blicke irgendwie nicht durch....
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Komplexe Zahlen: Gegenfrage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Sa 28.01.2006
Autor: Loddar

Hallo niteda!


Was ergibt denn [mm] $i^2$ [/mm] ? Und dies nochmals quadriert?

[mm] $i^4 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ i^2 \ \right)^2 [/mm] \ = \ ...$


Gruß
Loddar

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Sa 28.01.2006
Autor: niteda

Ahhhhhh  i hoch 2=-1 nochmal hoch 2=+1  müsste jetzt richtig sein oder?

Aber wie Zerlege ich i hoch 2005...habe irgendwie ein brett vorm kopf...sorry....


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Komplexe Zahlen: Exponent zerlegen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Sa 28.01.2006
Autor: Loddar

Hallo niteda!


Ich zerlege den Exponenten $2005_$ in ein Vielfaches von $4_$ und den Rest:

$2005 \ = \ 2004+1$


Gruß
Loddar

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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 Mo 30.01.2006
Autor: niteda

Vielen dank an alle,...war wohl eine schwere Geburt....! Habe es aber jetzt endlich kappiert!

Gruss Stefan
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 So 29.01.2006
Autor: niteda

Hi, komme immer nochnicht auf die lösung!!! weiß das ihr das nicht gerne macht aber kannst du mir nicht doch die lösung mit dem lösungsweg senden?  
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Komplexe Zahlen: i^4 = +1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 So 29.01.2006
Autor: Loddar

Hallo niteda!


Wir hatten uns doch "geeinigt", dass gilt: [mm] $i^4 [/mm] \ = \ +1$ .

Was ergibt demnach dieser Term nochmals "hoch 501" ?


Und dieses Ergebnis nun mit $i_$ multiplizieren (warum? Siehe erste Antwort!).


Gruß
Loddar

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 So 29.01.2006
Autor: niteda

i hoch 2004*i=i hoch 2005.....bin aber glaube ich zu blöde....weiß erlich gesagt immer noch nicht was du meinst....sorry....!!! kann mich leider auch nicht mehr konzentrieren. schreibe morgen klausur und habe ein fettes brett vorm kopf.... :(
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 So 29.01.2006
Autor: leduart

Hallo Niteda
vergiss mal , dass da i unten steht, das scheint dich zu verwirren!
[mm] $a^{1236}=a^{1235}*a^1$ [/mm] das muss dir klar sein!
[mm] $a^{1236}=a^{618}*a^{618}=a^{309}*a^{309}*a^{309}*a^{309}=a^{4*309}=(a^4)^{309}$ [/mm]
Und jetzt sieh dir nochmal Loddars 1. Post an,
Einmal den Kopf unter kaltes Wasser, einmal die Treppe rauf und runterrennen, und aufhören für die Klausur zu lernen!
Gruss leduart


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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 So 29.01.2006
Autor: niteda

Hi erstmal, mir ist klar das ich von der potenz 1 abziehe und dann die potenz durch 4 teile * i hoch 1.   mir ist auch klar das ich dann irgendwann auf i hoch 2 komme aber dann müsste mein ergebnis doch immer -1 sein!???
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 So 29.01.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

sicher [mm] i^{2}=-1, [/mm] aber was ist denn, wenn du [mm] (i^{2})^{2} [/mm] nimmst? Natürlich, das wird positiv und damit sind alle weiteren Produkte auch positiv! Es gilt

[mm] (i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 [/mm]

VG Daniel
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 So 29.01.2006
Autor: niteda

danke erstmal... also ist i hoch 2005=+1 oder ????



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Komplexe Zahlen: Stimmt nicht!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 So 29.01.2006
Autor: Loddar

.

Nein! [mm] $i^{200\red{4}} [/mm] \ = \ +1_$ .


Gruß
Loddar

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Komplexe Zahlen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:55 So 29.01.2006
Autor: niteda

ich geb es auf....danke nochmal an alle...werde mich bestimmt nochmal melden....muss mir noch andre sachen reinziehen....oder habt erbamen und sagt mir die lösung mit weg...glaube nämlich das diese aufgabe in der klausur drankommt.....würdet mir eine menge zeit ersparen die ich nicht habe...

Gruss stefan
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 So 29.01.2006
Autor: niteda

....oder die aufgabe i hoch 2006!!!! (wegen der jahreszahl)...bin echt verzweifelt!!!!
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mo 30.01.2006
Autor: Julius

Hallo!

Damit du deine Ruhe findest, auchfür die nächsten Jahre ;-), habe ich mal ein bisschen vorgesorgt:

Es einmal gilt ja: [mm] $i^2=-1$, [/mm] also: [mm] $i^4 [/mm] = [mm] (i^2)^2 [/mm] = [mm] (-1)^2=1$. [/mm]

Damit erhalten wir:

[mm] $i^{2005} [/mm] = [mm] i^{2004} \cdot [/mm] i = [mm] \left( i^{4} \right)^{501} \cdot [/mm] i = [mm] 1^{501} \cdot [/mm] i = 1 [mm] \cdot [/mm] i = i$

[mm] $i^{2006} [/mm] = [mm] i^{2005} \cdot [/mm] i = i [mm] \cdot [/mm] i = -1$

(alternativ und direkt: [mm] $i^{2006} [/mm] = [mm] i^{2004} \cdot i^2 [/mm] = [mm] \left( i^{4} \right)^{501} \cdot i^2 [/mm] = [mm] 1^{501} \cdot i^2 [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] (-1) = -1$)

[mm] $i^{2007} [/mm] = [mm] i^{2006} \cdot [/mm] i = (-1) [mm] \cdot [/mm] i = -i$

(alternativ und direkt: [mm] $i^{2007} [/mm] = [mm] i^{2004} \cdot i^3 [/mm] = [mm] \left( i^{4} \right)^{501} \cdot i^3 [/mm] = [mm] 1^{501} \cdot i^3 [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] (-i) = -i$)

[mm] $i^{2008} [/mm] = [mm] i^{2007} \cdot [/mm] i = (-i) [mm] \cdot [/mm] i = 1$

(alternativ und direkt: [mm] $i^{2008} [/mm] = [mm] \left(i^{4}\right)^{502} [/mm] =  [mm] 1^{502} [/mm] = 1$).

Jetzt sollte das Prinzip aber doch klar sein, oder? :-)

Ich hoffe mal es war noch rechtzeitig...

Liebe Grüße
Julius

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Komplexe Zahlen: Genau lesen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 So 29.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Stefan!


Das hat mit Erbarmen nichts zu tun, wenn es Dir nur vorgekaut wird. Das hilft Dir für morgen überhaupt nicht weiter ...

Zumal Dir die Lösung mehrfach vorgehalten wurde (bis auf den allerletzten Schritt, in dem ein Term mit $+1$ multipliziert wird).

Bitte lies Dir meine allererste Antwort in diesem Thread gemeinsam mit der letzten Antwort durch!


Gruß
Loddar

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Komplexe Zahlen: geometrisch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Mo 30.01.2006
Autor: Herby

Hallo Stefan,

betrachten wir das hier einmal etwas anschaulicher.

Wenn ich hier von einem Drehwinkel spreche, dann meine ich den mathematisch positiven, also den entgegen der Drehrichtung des Uhrzeigers.

Multipliziere ich eine Zahl mit [mm] \blue{i}, [/mm] dann wandere ich auf dem entsprechenden Kreis mit dem Radius r um den Winkel von 90°.

O.k. soweit :-) ?


Nun zu deiner Aufgabe:

[mm] i^{2005}=(+1)*i^{2005} [/mm] - es wird also die Zahl (+1) mit i ein paar mal multipliziert.

Die Zahl 1 nehme ich als Radius, so dass ich mich auf dem Einheitskreis bewege.

Jetzt zerlegen wir noch den Exponenten etwas geschickter in:$ 2005=4*501+1 $ [nach Loddar] ;-)

Und los geht's

[mm] (+1)*i=(+1)*i^{1}=i [/mm]  (ich laufe von der Zahl 1 auf der positiven reellen Achse los und lande nach 90° auf der positiven Hälfte der imaginären Achse bei $i $.

[mm] (+1)*i*i=(+1)*i^{2}=(-1) [/mm] (ich laufe beim zweiten Durchgang von i wieder um 90° direkt auf die reelle Achse, allerding stehe ich jetzt auf der negativen Hälfte bei (-1).

weiter geht's

[mm] (+1)*i*i*i=(+1)*i^{3}=(-i) [/mm] (es geht weiter um 90°, diesmal zur negativen Hälfte der imaginären Achse)

[mm] (+1)*i*i*i*i=(+1)*i^{4}=(+1) [/mm] (juchuuhh, einmal um 360° auf dem Einheitskreis und wieder (+1))


naja bei [mm] i^{4*501+1}=i^{4*501}*i^{1} [/mm] gehen wir halt 501 Mal um den Einheitskreis und müssen dann noch um i weiter.

Wo landen wir jetzt????????

Wo landen wir bei [mm] i^{2006} [/mm] ????????


Liebe Grüße
Herby
Bezug
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