Komplexe Zahl berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 So 26.11.2006 | | Autor: | kocal |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \bruch{3^{300001} \cdot{} 4^{600002}}{(6- \wurzel{12} i )^{600002} } [/mm] |
Tja also ich bin ratlos.
Weder über Potenzgesetze noch über umformen des komplexen Teils bin ich weit gekommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke. A.Koch
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Hi du! Mein Tipp: Du kannst in diesem Fall den Exponenten 300001 herausheben. Dann vereinfachst du den Nenner, wonach du kürzen kannst. Jetzt sieht das ganze doch schon viel netter aus, oder? Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mo 27.11.2006 | | Autor: | kocal |
Danke schonmal für deine Antwort
das wären dann
[mm] \bruch{48^{300001}}{(6- \wurzel{12} i )^{600002} }
[/mm]
aber weiter weiß ich dann doch ne...steh irgendwie total aufm Schlauch.
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Hallo
ich finde auch, wenn man die Exponenten vereinfacht durchz.B. x=300001 --> 2x=600002, dann wird die ganze Sache übersichtlicher.
Ich denke du musst im Nenner dann das Quadrat ausrechnen und vereinfachen. Danach kannst du den Nenner von i befreien. Wie man dann aber die Potenz selbst ausrechnet, weiß ich leider nicht.
Ciao
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:16 Mo 27.11.2006 | | Autor: | kocal |
[mm] \bruch{3^{x} \cdot{} 4^{2x}}{(6- \wurzel{12} i )^{2x} }
[/mm]
[mm] \bruch{48^{x} }{(36- 12 \wurzel{12} i + 12i^2)^{x} }
[/mm]
[mm] \bruch{48^{x} }{(24- 12 \wurzel{12} i )^{x} }
[/mm]
[mm] (\bruch{4}{(2- \wurzel{12} i )})^x
[/mm]
so in etwa ???
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Ja, so habe ich es auch gemacht, man kann nun noch den Nenner reel machen:
[mm] (\bruch{4}{2-\wurzel{12}i})^{x}=(\bruch{2}{1-\wurzel{3}i})^{x}
[/mm]
Nun kannst du mit [mm] \bruch{1+\wurzel{3}i}{1+\wurzel{3}i} [/mm] multiplizieren und erhältst:
[mm] (\bruch{1+\wurzel{3}}{2})^{x}
[/mm]
Ich habe nun noch was gefunden, wie man Komplexe Zahlen potenziert.
![[]](/images/popup.gif)
Link-Text
Damit sollte die Aufgabe gelöst sein. Da ich mir aber nicht 100% sicher bin und es wahrscheinlich einen besseren Weg gibt, schreibe ich nur eine Mitteilung.
Ciao
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> [mm]\bruch{3^{x} \cdot{} 4^{2x}}{(6- \wurzel{12} i )^{2x} }[/mm]=...
>=$ [mm] (\bruch{4}{(2- \wurzel{12} i )})^x [/mm] $
Hallo,
[mm] ...=(\bruch{2}{(1- \wurzel{3} i )})^x [/mm]
Um die komplexe Zahl aus dem Nenner zu bekommen, wendet man diesen "Trick" an:
[mm] ...=(\bruch{2}{(1- \wurzel{3} i )}\bruch{(1+ \wurzel{3} i )}{(1+ \wurzel{3} i )})^x [/mm]
Die entstehende Zahl kann man dann mit dem binomischen Lehrsatz berechnen, oder nach entsprechender Umformung mit der Formel von Moivre.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mo 27.11.2006 | | Autor: | kocal |
[mm] ...=(\bruch{2}{(1- \wurzel{3} i )}\bruch{(1+ \wurzel{3} i )}{(1+ \wurzel{3} i )})^x [/mm]
da komme ich dann auf
[mm] ...=(\bruch{{(1+ \wurzel{3} i )}}{2})^x
[/mm]
weitergerechnet mit Moivre ( r=1 und [mm] \varphi=\bruch{\pi}{3} [/mm] )
x is immernoch 300001 wie oben definiert
[mm] z^x=r(cos\varphi+isin\varphi)^x [/mm] = [mm] r^x(cos(x\varphi)+isin(x\varphi))
[/mm]
jetzt komme ich auf einen krummen wert für die lösung...habe ich mich verrechnet oder geht ihr mit mir konform ?
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> [mm]...=(\bruch{2}{(1- \wurzel{3} i )}\bruch{(1+ \wurzel{3} i )}{(1+ \wurzel{3} i )})^x[/mm]
>
> da komme ich dann auf
>
> [mm]...=(\bruch{{(1+ \wurzel{3} i )}}{2})^x[/mm]
>
> weitergerechnet mit Moivre ( r=1 und
> [mm]\varphi=\bruch{\pi}{3}[/mm] )
>
> x is immernoch 300001 wie oben definiert
>
> [mm]z^x=r(cos\varphi+isin\varphi)^x[/mm] =
> [mm]r^x(cos(x\varphi)+isin(x\varphi))[/mm]
>
> jetzt komme ich auf einen krummen wert für die
> lösung...habe ich mich verrechnet oder geht ihr mit mir
> konform ?
Unbedingt konform bis hier: [mm] r^x(cos(x\varphi)+isin(x\varphi)) [/mm] mit r=1 und [mm] \varphi=60°.
[/mm]
Den Wert allerdings finde ich nur mäßig krumm: [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{3}i [/mm] habe ich ausgerechnet.
Hast Du beim Rechnen die Periodizität der trigonometrischen Funktionen bedacht, man braucht nämlich gar keinen Taschenrechner...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Mo 27.11.2006 | | Autor: | kocal |
danke...ich komme jetzt auch alles in allem auf
[mm] \bruch{3^{300001} \cdot{} 4^{600002}}{(6- \wurzel{12} i )^{600002} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{3}i
[/mm]
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