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| Aufgabe | Man bestimme alle (komplexen) Lösungen der Gleichung
[mm] z^2-(2+4j)z-3+3j=0
[/mm]
Man gebe diese in Normalform an |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mein vorgehen:
die gleichung nach z umstellen.
dann kann man an der potenz von z sehen, wieviele komplexe wurzeln es gibt.
und dann mit der formel von moivre rechnen, jedoch schaffe ich es nicht den term nach z umzustellen.
[mm] z^2-(2+4j)*z-3+3j=0
[/mm]
[mm] z^2= [/mm] (2+4j)z+3-3j
[mm] z=2+4j+\bruch{3}{z} [/mm] - [mm] \bruch{3j}{z}
[/mm]
[mm] z=2+4j+\bruch{1}{z}*(3-3j)
[/mm]
[mm] z-\bruch{1}{z}(3-3j)=2+4j
[/mm]
ich komm einfach nicht drauf
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ich komme trotzdem nicht drauf:
[mm] z_{1,2}=\bruch{2+4j}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-2-4j}{2})^2+3-3j}
[/mm]
[mm] =1+2j\pm\wurzel{1+4j+4j^2+3-3j}=1+2j\pm\wurzel{4+j+4j^2}
[/mm]
wie soll ich den wurzel ausdruck lösen?
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Hi,
wie Bastiane schon sagte, einfach pq-Formel...
Zur Kontrolle sagt das CAS:
[mm] z_{1}=\bruch{\wurzel{2}+2}{2}+\bruch{\wurzel{2}+4}{2}*j
[/mm]
[mm] z_{2}=\bruch{-\wurzel{2}+2}{2}-\bruch{\wurzel{2}-4}{2}*j
[/mm]
lg,
exeqter
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also gut hier nochmal ein lösungsverusch:
[mm] z_{1}^{2}=\bruch{2+4j}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-2-4j}{2}^2)+3 -3j}=1+2j\pm\wurzel{(-1-2j)^2+3-3j}=1+2j\pm\wurzel{j}
[/mm]
[mm] z_1^2=-3+j
[/mm]
[mm] z_2^2=-3-j
[/mm]
berechnung für [mm] z_1^2:
[/mm]
[mm] r=\wurzel{(-3)^2+1^2}=\wurzel{10}
[/mm]
[mm] cos(\alpha)=\bruch{-3}{\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] \alpha=arccos(\bruch{-3}{\wurzel{10}})
[/mm]
[mm] w_0=\wurzel[4]{10}*e^{i(\bruch{arccos(\bruch{-3}{10})}{2})}=\wurzel[4]{10}*(cos(arccos(\bruch{-3}{10}))+isin(arccos(\bruch{-3}{10}))
[/mm]
[mm] w_1=\wurzel[4]{10}*e^{i(\bruch{arccos(\bruch{-3}{10})}{2}+\bruch{2\pi}{2})}=\wurzel[4]{10}*(cos(arccos(\bruch{-3}{10}))+isin(arccos(\bruch{-3}{10}))
[/mm]
für [mm] z_2^2 [/mm] kommt genau dassselbe heraus.
aber die zahlen sehen seltsam aus, wo hab ich mich da verrechnet?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 31.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo BlubbBlubb!
Dein Fehler ist ziemlich am Anfang; denn: [mm] $\wurzel{j} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ j$ !
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:49 Do 31.07.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
sorry hatte da zwei tippfehler, deshalb sah es so aus als hätte ich aus [mm] \wurzel{j}=j [/mm] gemacht dem ist aber nicht so, hier nochmal die rechung ohne tippfehler:
also gut hier nochmal ein lösungsverusch:
[mm] z_{1,2}=\bruch{2+4j}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-2-4j}{2})^2+3 -3j}=1+2j\pm\wurzel{(-1-2j)^2+3-3j}=1+2j\pm\wurzel{j}
[/mm]
[mm] z_1^2=-3+j
[/mm]
[mm] z_2^2=-3-j
[/mm]
berechnung für [mm] z_1^2:
[/mm]
[mm] r=\wurzel{(-3)^2+1^2}=\wurzel{10}
[/mm]
[mm] cos(\alpha)=\bruch{-3}{\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] \alpha=arccos(\bruch{-3}{\wurzel{10}})
[/mm]
[mm] w_0=\wurzel[4]{10}*e^{i(\bruch{arccos(\bruch{-3}{10})}{2})}=\wurzel[4]{10}*(cos(arccos(\bruch{-3}{10}))+isin(arccos(\bruch{-3}{10}))
[/mm]
[mm] w_1=\wurzel[4]{10}*e^{i(\bruch{arccos(\bruch{-3}{10})}{2}+\bruch{2\pi}{2})}=\wurzel[4]{10}*(cos(arccos(\bruch{-3}{10}))+isin(arccos(\bruch{-3}{10}))
[/mm]
für [mm] z_2^2 [/mm] kommt genau dassselbe heraus.
aber die zahlen sehen seltsam aus, wo hab ich mich da verrechnet?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Do 31.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo BlubbBlubb!
> also gut hier nochmal ein lösungsverusch:
>
> [mm]z_{1,2}=\bruch{2+4j}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-2-4j}{2})^2+3 -3j}=1+2j\pm\wurzel{(-1-2j)^2+3-3j}=1+2j\pm\wurzel{j}[/mm]
>
> [mm]z_1^2=-3+j[/mm]
>
> [mm]z_2^2=-3-j[/mm]
Wie kommst Du hier auf die beiden Werte für [mm] $z_1^2$ [/mm] bzw. [mm] $z_2^2$ [/mm] ?
Was erhältst du denn für [mm] $\wurzel{j}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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ich hab ja die pq-formel angewendet also rechne ich [mm] z_{1,2} [/mm] aus, also hab ich zwei z-werte nämich [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2:
[/mm]
[mm] z_1=1+2j+\wurzel{j}
[/mm]
[mm] z_2=1+2j-\wurzel{j}
[/mm]
und nun hab ich die [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] quadriert:
[mm] z_1^2=1+4j^2+j=-3+j
[/mm]
[mm] z_2^2=1+4j^2-j=-3-j [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 31.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das Quadrieren ist so falsch.
[mm] (1+2j+\wurzel{j})²\red{\ne}1+4j^2+j
[/mm]
Alternativ könntest du [mm] s=\wurzel{j} [/mm] substituieren, dann hast du wieder einen Quadratischen Term.
[mm] 1+2j+\wurzel{j}
[/mm]
:= [mm] 1+2s^{2}+s
[/mm]
[mm] =s²+\bruch{1}{2}s+\bruch{1}{2}
[/mm]
Marius
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so langsam fange ich an an dieser aufgabe zu verzweifeln.
stimmt, das kann ich wirklich nicht so quadrieren, das war wirklich ein blöder fehler.
nagut ich habs versucht zu substituieren wie du es vorgeschlagen hast.
FÜR [mm] Z_1:
[/mm]
Subst. [mm] s=\wurzel{j} [/mm]
[mm] s^2=j
[/mm]
[mm] z_1=1+2j+\wurzel{j}
[/mm]
[mm] z_1=2s^2+s+1=2*(s^2+\bruch{1}{2}s+\bruch{1}{2})
[/mm]
pq-Formel:
[mm] s_{1,2}=-\bruch{1}{4}\pm\wurzel{(\bruch{1}{4})^2-\bruch{1}{2}}=\bruch{-1}{4}\pm\wurzel{\bruch{7}{16}}*j
[/mm]
[mm] z_{1,1}=\bruch{-1}{2}+2\wurzel{\bruch{7}{16}}*j
[/mm]
[mm] z_{1,2}=\bruch{-1}{2}-2\wurzel{\bruch{7}{16}}*j
[/mm]
FÜR [mm] Z_2:
[/mm]
[mm] z_2=1+2j-\wurzel{j}
[/mm]
[mm] z_2=2s^2-s+1=2*(s^2-\bruch{1}{2}s+\bruch{1}{2})
[/mm]
pq-Formel:
[mm] s_{1,2}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{(\bruch{-1}{4})^2-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{7}{16}}*j
[/mm]
[mm] z_{2,1}=\bruch{1}{2}+2\wurzel{\bruch{7}{16}}*j
[/mm]
[mm] z_{2,2}=\bruch{1}{2}-2\wurzel{\bruch{7}{16}}*j
[/mm]
aber um ehrlich zu sein versteh ich grad selbst nicht was ich da gemacht hab. ich hab zwar substituiert aber nirgends rücksubstituiert und weiß auch nicht wo ich rücksubstituieren sollte.
zudem verwirrt mich die quadratische gleichung mit s.
die quadratische gleichung mit z, gibt mir an für welche z der term [mm] z^2-(2+4j)z-3+3j=0 [/mm] wird
aber was gibt mir die quadratische gleichung mit s an?
gibt sie mir an für welche s beispielsweise der term [mm] z_1=1+2s^2+s [/mm] ein [mm] z_1 [/mm] erhält für das wiederrum der anfagsterm mit diesem [mm] z_1 [/mm] die gleichung [mm] z^2-(2+4j)z-3+3j=0 [/mm] erfüllt?
ohje in meinem kopf herrscht grad ein riesiges durcheinander und mein gefühl sagt mir ich habe diese aufgabe immer noch nicht richtig gelöst und das ich hier grad auch ziemlich unfug gemacht hab.
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> so langsam fange ich an an dieser aufgabe zu verzweifeln.
>
> stimmt, das kann ich wirklich nicht so quadrieren,
Hallo,
mir ist überhaupt nicht klar, warum Du überhaupt quadrieren willst W.as soll das Ziel dieser Maßnahme sein?
Denn Du wolltest die Lösungen der eingangs präsentierten Gleichung ermitteln.
Ich habe nichts nachgerechnet, aber ich habe gesehen, daß Du doch bereits zwei Lösungen [mm] z_1, z_2 [/mm] gefunden hast.
Sofern diese richtig sind, wovon ich ausgehe, denn Du hast ja unter Loddars Argusaugen gerechnet, kannst Du den Part "Lösung finden" doch bereits abhaken. Du hast sie längst gefunden.
Jetzt kommt der Part " gib diese in Normalform an" an die Reihe, und hierfür brauuchst Du nichts anderes zu tun, als [mm] \wurzel{j} [/mm] in der Form a+jb zu schreiben. Diese a und b mußt Du noch ermitteln, und dann bist Du (abgesehen von Winzigkeiten) fertig.
Hierzu könntest Du ja nochmal ein bißchen quadrieren: wenn [mm] \wurzel{j}= [/mm] a+jb sein soll, dann ist j=....
Nun die a,b einfach ausrechnen. Die rechnung ist klein und leicht, keine Angst!
Gruß v. Angela
das war
> wirklich ein blöder fehler.
>
> nagut ich habs versucht zu substituieren wie du es
> vorgeschlagen hast.
>
> FÜR [mm]Z_1:[/mm]
>
> Subst. [mm]s=\wurzel{j}[/mm]
> [mm]s^2=j[/mm]
>
> [mm]z_1=1+2j+\wurzel{j}[/mm]
>
> [mm]z_1=2s^2+s+1=2*(s^2+\bruch{1}{2}s+\bruch{1}{2})[/mm]
>
> pq-Formel:
>
> [mm]s_{1,2}=-\bruch{1}{4}\pm\wurzel{(\bruch{1}{4})^2-\bruch{1}{2}}=\bruch{-1}{4}\pm\wurzel{\bruch{7}{16}}*j[/mm]
>
> [mm]z_{1,1}=\bruch{-1}{2}+2\wurzel{\bruch{7}{16}}*j[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}=\bruch{-1}{2}-2\wurzel{\bruch{7}{16}}*j[/mm]
>
>
> FÜR [mm]Z_2:[/mm]
>
> [mm]z_2=1+2j-\wurzel{j}[/mm]
>
> [mm]z_2=2s^2-s+1=2*(s^2-\bruch{1}{2}s+\bruch{1}{2})[/mm]
>
> pq-Formel:
>
> [mm]s_{1,2}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{(\bruch{-1}{4})^2-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{7}{16}}*j[/mm]
>
> [mm]z_{2,1}=\bruch{1}{2}+2\wurzel{\bruch{7}{16}}*j[/mm]
>
> [mm]z_{2,2}=\bruch{1}{2}-2\wurzel{\bruch{7}{16}}*j[/mm]
>
> aber um ehrlich zu sein versteh ich grad selbst nicht was
> ich da gemacht hab. ich hab zwar substituiert aber nirgends
> rücksubstituiert und weiß auch nicht wo ich
> rücksubstituieren sollte.
>
> zudem verwirrt mich die quadratische gleichung mit s.
>
> die quadratische gleichung mit z, gibt mir an für welche z
> der term [mm]z^2-(2+4j)z-3+3j=0[/mm] wird
>
> aber was gibt mir die quadratische gleichung mit s an?
> gibt sie mir an für welche s beispielsweise der term
> [mm]z_1=1+2s^2+s[/mm] ein [mm]z_1[/mm] erhält für das wiederrum der
> anfagsterm mit diesem [mm]z_1[/mm] die gleichung [mm]z^2-(2+4j)z-3+3j=0[/mm]
> erfüllt?
>
> ohje in meinem kopf herrscht grad ein riesiges
> durcheinander und mein gefühl sagt mir ich habe diese
> aufgabe immer noch nicht richtig gelöst und das ich hier
> grad auch ziemlich unfug gemacht hab.
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> mir ist überhaupt nicht klar, warum Du überhaupt quadrieren
> willst W.as soll das Ziel dieser Maßnahme sein?
>
stimmt, das ist total schwachsinnig gewesen zu versuchen es zu quadrieren. ich hab davor zwei komplexe wurzeln aufgaben gelöst (die hier auch im forum sind) und da sollte man ja immer alle komplexe wurzeln bestimmen und um die formel von moivre anzuwenden und vernünftig zu rechnende werte zu haben wollte ich veruschen die erhaltenen z-werte zu quadrieren um die [mm] \wurzel{j} [/mm] im term [mm] z=1+2j+\wurzel{j} [/mm] verschwinden zu lassen.
aber in der aufgabenstellung steht ja nichts von der bestimmung der komplexen wurzeln merk ich grad.
> ... kannst Du den Part
> "Lösung finden" doch bereits abhaken. Du hast sie längst
> gefunden.
>
> Jetzt kommt der Part " gib diese in Normalform an" an die
> Reihe, und hierfür brauuchst Du nichts anderes zu tun, als
> [mm]\wurzel{j}[/mm] in der Form a+jb zu schreiben. Diese a und b
> mußt Du noch ermitteln, und dann bist Du (abgesehen von
> Winzigkeiten) fertig.
>
> Hierzu könntest Du ja nochmal ein bißchen quadrieren: wenn
> [mm]\wurzel{j}=[/mm] a+jb sein soll, dann ist j=....
>
> Nun die a,b einfach ausrechnen. Die rechnung ist klein und
> leicht, keine Angst!
>
> Gruß v. Angela
nagut ich hab versucht zu tun was du geschrieben hast:
[mm] \wurzel{j}=a+jb [/mm] (ich nehme an ich soll das machen um die wurzel veschwinden zu lassen?)
[mm] j=(a+jb)^2=a^2+2abj+j^2b^2
[/mm]
[mm] j=\bruch{a^2-b^2}{1-2ab}
[/mm]
und was jetzt? um a und b herauszubekommen fällt mir nur ein zwei gleichungen mit zwei unbekannten aufzustellen,und zwar:
[mm] z_1=1+2j+\bruch{a^2-b^2}{1-2ab} [/mm] eingesetzt in den anfangsterm und dann nach a aufgelöst, somit erhält man term(I)
und dann [mm] z_2=1+2j-\bruch{a^2-b^2}{1-2ab} [/mm] in den anfangsterm einsetzen nach b auflösen und für a term(I) einsetzen, dann erhält man einen wert für b und setzt b dann in term(I) ein und erhält somit a.
doch das wird eine ziemlich kompliziert zu lösende gleichung sein ich habs versucht und nach ein paar zeilen sein gelassen weil das ein sehr langer schwieriger term wurde und ich gemerkt hab dass das der falsche ansatz sein muss.
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> > Hierzu könntest Du ja nochmal ein bißchen quadrieren: wenn
> > [mm]\wurzel{j}=[/mm] a+jb sein soll, dann ist j=....
> >
> > Nun die a,b einfach ausrechnen. Die rechnung ist klein und
>
>
> > leicht, keine Angst!
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
>
> nagut ich hab versucht zu tun was du geschrieben hast:
>
> [mm]\wurzel{j}=a+jb[/mm] (ich nehme an ich soll das machen um die
> wurzel veschwinden zu lassen?)
Hallo,
Du willst [mm] \wurzel{j} [/mm] als a+jb schreiben, und irgendwie mußt Du an die Koeffizienten kommen.
Das Ziel ist, die Koeffizienten durch einen Koeffizientenvergleich zu errechnen.
>
> [mm]j=(a+jb)^2=a^2+2abj+j^2b^2[/mm]
> [mm]j=\bruch{a^2-b^2}{1-2ab}[/mm]
Das ist ein bißchen übereifrig.
Schreiben wir lieber so:
(1-2ab)j=(a²-b²)
Wann Klappt das? Nur, wenn beide Klammern =0 sind.
Und für welche a und b das der fall ist, ist auszurechnen.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
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> Du willst [mm]\wurzel{j}[/mm] als a+jb schreiben, und irgendwie mußt
> Du an die Koeffizienten kommen.
> Das Ziel ist, die Koeffizienten durch einen
> Koeffizientenvergleich zu errechnen.
>
> >
> > [mm]j=(a+jb)^2=a^2+2abj+j^2b^2[/mm]
> > [mm]j=\bruch{a^2-b^2}{1-2ab}[/mm]
>
> Das ist ein bißchen übereifrig.
>
> Schreiben wir lieber so:
>
> (1-2ab)j=(a²-b²)
>
> Wann Klappt das? Nur, wenn beide Klammern =0 sind.
>
> Und für welche a und b das der fall ist, ist auszurechnen.
>
> Gruß v. Angela
1-2ab=0
[mm] a^2-b^2=0
[/mm]
[mm] a=\bruch{1}{2b}
[/mm]
[mm] b=\pm\wurzel{\bruch{1}{4b^2}}=\pm\bruch{1}{2b}
[/mm]
[mm] b=\bruch{1}{2b} [/mm] liefert:
[mm] b=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] b=\bruch{-1}{2b} [/mm] liefert:
[mm] b=\pm\wurzel{\bruch{-1}{2}}=\pm\bruch{j}{\wurzel{2}}
[/mm]
daraus folgt für a:
[mm] a=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] a=-\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] a=\bruch{\wurzel{2}}{2j}
[/mm]
[mm] a=-\bruch{\wurzel{2}}{2j}
[/mm]
so richtig?
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Hallo BlubbBlubb,
> > Hallo,
> >
> > Du willst [mm]\wurzel{j}[/mm] als a+jb schreiben, und irgendwie mußt
> > Du an die Koeffizienten kommen.
> > Das Ziel ist, die Koeffizienten durch einen
> > Koeffizientenvergleich zu errechnen.
> >
> > >
> > > [mm]j=(a+jb)^2=a^2+2abj+j^2b^2[/mm]
> > > [mm]j=\bruch{a^2-b^2}{1-2ab}[/mm]
> >
> > Das ist ein bißchen übereifrig.
> >
> > Schreiben wir lieber so:
> >
> > (1-2ab)j=(a²-b²)
> >
> > Wann Klappt das? Nur, wenn beide Klammern =0 sind.
> >
> > Und für welche a und b das der fall ist, ist auszurechnen.
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
>
>
> 1-2ab=0
> [mm]a^2-b^2=0[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{1}{2b}[/mm]
>
> [mm]b=\pm\wurzel{\bruch{1}{4b^2}}=\pm\bruch{1}{2b}[/mm]
>
> [mm]b=\bruch{1}{2b}[/mm] liefert:
>
> [mm]b=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]b=\bruch{-1}{2b}[/mm] liefert:
>
> [mm]b=\pm\wurzel{\bruch{-1}{2}}=\pm\bruch{j}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> daraus folgt für a:
>
> [mm]a=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]a=-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{\wurzel{2}}{2j}[/mm]
[mm]a=\bruch{\wurzel{2}}{2j}=-j\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]a=-\bruch{\wurzel{2}}{2j}[/mm]
[mm]a=-\bruch{\wurzel{2}}{2j}=j\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> so richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Fr 01.08.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
mich verwundert der unnötige Aufwand.
[mm] z=\wurzel{j} [/mm] erhält man mit der Formel von Moivre sofort als Lösungen der Gleichung [mm] z^2=1*(cos90°+j*sin90°),
[/mm]
also [mm] z_1=(cos45°+j*sin45°) [/mm] und [mm] z_2=(cos225°+j*sin225°).
[/mm]
Gruß Abakus
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> Hallo,
> mich verwundert der unnötige Aufwand.
> [mm]z=\wurzel{j}[/mm] erhält man mit der Formel von Moivre sofort
> als Lösungen der Gleichung [mm]z^2=1*(cos90°+j*sin90°),[/mm]
> also [mm]z_1=(cos45°+j*sin45°)[/mm] und [mm]z_2=(cos225°+j*sin225°).[/mm]
> Gruß Abakus
>
Hallo,
klar soll man die Formel kennen und verwenden können.
Ich finde aber den Weg, sich [mm] \wurzel{j} [/mm] aus [mm] \wurzel{j}=a+ib [/mm] zu erschließen, gerade am Anfang des Rumwurschtelns mit komlexen Zahlen recht leerreich (den Koeffizientenvergleich).
Im Prinzip kann man den dann natürlich im Kopf bewältigen, wenn man die richtigen Schlüsse aus a²-b²=0 zieht.
Hruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Sa 02.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
also gut dann würd ich das folgendermaßen lösen:
[mm] z^2-(2+4j)*z-3+3j=0
[/mm]
pq-formel:
[mm] z_{1,2}=\bruch{2+4j}{2}\pm\wurzel{(\bruch{-2-4j}{2})^2+3-3j}=1+2j\pm\wurzel{j}
[/mm]
[mm] w=\wurzel{j}
[/mm]
[mm] w^2=j
[/mm]
[mm] w_k=\wurzel[n]{r}*e^{j(\bruch{\alpha+2k\pi}{n})}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] cos(\alpha)=\bruch{x}{y}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{0^2+1^2}=1
[/mm]
[mm] cos(\alpha)=\bruch{0}{1}=0
[/mm]
[mm] \alpha=arccos(0)=90°=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] w_0=\wurzel[2]{1}*e^{j(\bruch{\pi}{4})}=e^{j(\bruch{\pi}{4})}=cos(\bruch{\pi}{4})+j*sin(\bruch{\pi}{4})=\bruch{\wurzel{2}}{2}+j*\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] w_1=\wurzel[2]{1}*e^{j(\bruch{\bruch{\pi}{2}+2\pi}{2})}=e^{j*(\bruch{5\pi}{4})}=cos(\bruch{5\pi}{4})+j*sin(\bruch{5\pi}{4})=-\bruch{\wurzel{2}}{2}-j*\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
mit [mm] w_0:
[/mm]
[mm] z_{1,1}=1+2j+\wurzel{j}=1+2j+\bruch{\wurzel{2}}{2}+j*\bruch{\wurzel{2}}{2}=\bruch{2+\wurzel{2}}{2}+\bruch{4+\wurzel{2}}{2}*j
[/mm]
[mm] z_{1,2}=1+2j-\wurzel{j}=1+2j-\bruch{\wurzel{2}}{2}-j*\bruch{\wurzel{2}}{2}=\bruch{2-\wurzel{2}}{2}+\bruch{4-\wurzel{2}}{2}*j
[/mm]
mit [mm] w_1:
[/mm]
[mm] z_{2,1}=1+2j+\wurzel{j}=1+2j-\bruch{\wurzel{2}}{2}-j*\bruch{\wurzel{2}}{2}=\bruch{2-\wurzel{2}}{2}+\bruch{4-\wurzel{2}}{2}*j
[/mm]
[mm] z_{2,2}=1+2j-\wurzel{j}=1+2j+\bruch{\wurzel{2}}{2}+j*\bruch{\wurzel{2}}{2}=\bruch{2+\wurzel{2}}{2}+\bruch{4+\wurzel{2}}{2}*j
[/mm]
richtig?
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> > Hallo,
> >
> > Du willst [mm]\wurzel{j}[/mm] als a+jb schreiben, und irgendwie mußt
> > Du an die Koeffizienten kommen.
> > Das Ziel ist, die Koeffizienten durch einen
> > Koeffizientenvergleich zu errechnen.
> >
> > >
> > > [mm]j=(a+jb)^2=a^2+2abj+j^2b^2[/mm]
> > > [mm]j=\bruch{a^2-b^2}{1-2ab}[/mm]
> >
> > Das ist ein bißchen übereifrig.
> >
> > Schreiben wir lieber so:
> >
> > (1-2ab)j=(a²-b²)
> >
> > Wann Klappt das? Nur, wenn beide Klammern =0 sind.
> >
> > Und für welche a und b das der fall ist, ist auszurechnen.
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
>
>
> 1-2ab=0
> [mm]a^2-b^2=0[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{1}{2b}[/mm]
>
> [mm]b=\pm\wurzel{\bruch{1}{4b^2}}=\pm\bruch{1}{2b}[/mm]
>
> [mm]b=\bruch{1}{2b}[/mm] liefert:
>
> [mm]b=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]b=\bruch{-1}{2b}[/mm] liefert:
>
> [mm]b=\pm\wurzel{\bruch{-1}{2}}=\pm\bruch{j}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> daraus folgt für a:
>
> [mm]a=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]a=-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{\wurzel{2}}{2j}[/mm]
>
> [mm]a=-\bruch{\wurzel{2}}{2j}[/mm]
>
> so richtig?
Hallo,
Du suchtest ja eigentlich nur reelle a,b.
Und dann solltest Du nochmal aufschreiben, was nun [mm] \wurzel{j} [/mm] ist.
Du brauchtest das ja für irgendwas.
Gruß v. Angela
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> Du suchtest ja eigentlich nur reelle a,b.
>
wieso such ich eigentlich nur reele a und b? ich rechne hier doch mit komplexen zahlen, warum nehm ich dann die komplexen lösungen auch nicht mit rein?
also gut ich denke ich habs jetzt:
[mm] b=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] a=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{j}=a+jb
[/mm]
[mm] \wurzel{j}=\bruch{\wurzel{2}}{2}+j*\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}j
[/mm]
[mm] z_{1,1}=1+2j+\wurzel{j}=\bruch{2+\wurzel{2}}{2}+\bruch{4+\wurzel{2}}{2}*j
[/mm]
[mm] z_{1,2}=1+2j-\wurzel{j}=\bruch{2-\wurzel{2}}{2}+\bruch{4-\wurzel{2}}{2}*j
[/mm]
_________________________________________________________________________________
[mm] b=-\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] a=-\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{j}=a+jb
[/mm]
[mm] \wurzel{j}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}-j*\bruch{1}{\wurzel{2}}=-\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}j
[/mm]
[mm] z_{2,1}=1+2j+\wurzel{j}=\bruch{2-\wurzel{2}}{2}+\bruch{4-\wurzel{2}}{2}*j
[/mm]
[mm] z_{2,2}=1+2j-\wurzel{j}=\bruch{2+\wurzel{2}}{2}+\bruch{4+\wurzel{2}}{2}*j
[/mm]
nun hab ich quasi jeweils zweimal die gleiche lösung raus, wie bezeichnet man sowas? weil wenn man beispielsweise 2 mal oder dreimal dieselbe lösung bei einer kurvendisskusion für eine nullstelle raushat sagt man dazu ja doppelte bzw dreifache nullstelle.
und ich habe hier ja auch nichts anderes gemacht als nullstellen auszurechnen also hab ich hier zwei doppelte komplexe nullstellen heraus oder?
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Hallo BlubbBlubb,
> >
> > Du suchtest ja eigentlich nur reelle a,b.
> >
>
> wieso such ich eigentlich nur reele a und b? ich rechne
> hier doch mit komplexen zahlen, warum nehm ich dann die
> komplexen lösungen auch nicht mit rein?
Weil die ![[]](/images/popup.gif) komplexen Zahlen über die reellen Zahlen definiert werden.
>
> also gut ich denke ich habs jetzt:
>
> [mm]b=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{j}=a+jb[/mm]
>
> [mm]\wurzel{j}=\bruch{\wurzel{2}}{2}+j*\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> + [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}j[/mm]
>
> [mm]z_{1,1}=1+2j+\wurzel{j}=\bruch{2+\wurzel{2}}{2}+\bruch{4+\wurzel{2}}{2}*j[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}=1+2j-\wurzel{j}=\bruch{2-\wurzel{2}}{2}+\bruch{4-\wurzel{2}}{2}*j[/mm]
>
> _________________________________________________________________________________
>
>
>
> [mm]b=-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]a=-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{j}=a+jb[/mm]
>
> [mm]\wurzel{j}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}-j*\bruch{1}{\wurzel{2}}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}j[/mm]
>
> [mm]z_{2,1}=1+2j+\wurzel{j}=\bruch{2-\wurzel{2}}{2}+\bruch{4-\wurzel{2}}{2}*j[/mm]
>
> [mm]z_{2,2}=1+2j-\wurzel{j}=\bruch{2+\wurzel{2}}{2}+\bruch{4+\wurzel{2}}{2}*j[/mm]
>
> nun hab ich quasi jeweils zweimal die gleiche lösung raus,
> wie bezeichnet man sowas? weil wenn man beispielsweise 2
> mal oder dreimal dieselbe lösung bei einer kurvendisskusion
> für eine nullstelle raushat sagt man dazu ja doppelte bzw
> dreifache nullstelle.
> und ich habe hier ja auch nichts anderes gemacht als
> nullstellen auszurechnen also hab ich hier zwei doppelte
> komplexe nullstellen heraus oder?
Du hast hier nur einfache Nullstellen,
[mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2}-j*\bruch{1}{\wurzel{2}}=-\left(\bruch{\wurzel{2}}{2}+j*\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)[/mm]
Demnach ist
[mm]+\wurzel{j}=+\bruch{\wurzel{2}}{2}+j*\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
[mm]-\wurzel{j}=-\bruch{\wurzel{2}}{2}-j*\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Daher gibt es nur 2 Lösungen:
[mm]z_{1}=1+2j-\wurzel{j}[/mm]
[mm]z_{2}=1+2j+\wurzel{j}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Sa 02.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
okay ich bedanke mich für die hilfe, war ein ziemlich langer weg bis ichs hinbekommen habe, aber dank euch hab ichs doch noch geschafft.
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PQFormel
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
