Komplexe Standardskalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 27.01.2009 | | Autor: | laurel |
| Aufgabe | | Sei [mm] \Phi(x,y)=\summe_{i=1}^{n}x_i \bar y_i [/mm] das komplexe Standardskalarprodukt auf [mm] \IC^n [/mm] und [mm] A\in [/mm] Mat (n, [mm] \IC) [/mm] eine hermitesche Matrix. Beweisen Sie, dass [mm] \Phi(Ax,x)\in\IR [/mm] für alle [mm] x\in \IC^n. [/mm] |
Hallo, an Alle!!!
Könnte mir jemand vielleicht bei der Augabe helfen??
Ich hab so angefangen, aber bin mir nicht ganz sicher ob es richtig ist,
Wenn
[mm] \Phi(x,y)=\summe_{i=1}^{n}x_i \bar y_i [/mm] ,
dann muss es auch für das andere Skalarprodukt gelten, also
[mm] \Phi(Ax,x) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \overline{(\lambda_i_j)x_i} x_i
[/mm]
und dann muss aus der Summe eine reelle Zahl entstehen.
Danke im Voraus
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Di 27.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]\Phi(x,y)=\summe_{i=1}^{n}x_i \bar y_i[/mm] das komplexe
> Standardskalarprodukt auf [mm]\IC^n[/mm] und [mm]A\in[/mm] Mat (n,
> [mm]\IC)[/mm] eine hermitesche Matrix. Beweisen Sie, dass
> [mm]\Phi(Ax,x)\in\IR[/mm] für alle [mm]x\in \IC^n.[/mm]
> Hallo, an Alle!!!
> Könnte mir jemand vielleicht bei der Augabe helfen??
> Ich hab so angefangen, aber bin mir nicht ganz sicher ob
> es richtig ist,
> Wenn
> [mm]\Phi(x,y)=\summe_{i=1}^{n}x_i \bar y_i[/mm] ,
> dann muss es auch für das andere Skalarprodukt gelten, also
> [mm]\Phi(Ax,x)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \overline{(\lambda_i_j)x_i} x_i[/mm]
Das kann ja irgendwie nicht sein. Wenn [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] ist, dann ist [mm] $(Ax)_i=\sum_j a_{ij}x_j$ [/mm] und somit [mm] $$\Phi(Ax,x)=\sum_i(Ax)_i\overline{x_i}=\sum_{i,j}a_{ij}x_i\overline{x_j}$$ [/mm] Jetzt benutze die Hermitizität von A, d.h. dass gilt [mm] $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ [/mm] für alle [mm]1\le i,j\le n[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 27.01.2009 | | Autor: | laurel |
Dann ist
[mm] \Phi(Ax,x)=\sum_i(Ax)_i\overline{x_i}=\sum_{i,j}a_{ij}x_i\overline{x_j} [/mm] = [mm] =\summe_{i,j=1}^{n} a_i_jx_j \overline x_i =\summe_{i,j=1}^{n}\overline{a_j_i x_i} x_j
[/mm]
Damit komme ich irgendwie nicht weiter...
Danke für deine Hilfe
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Di 27.01.2009 | | Autor: | pelzig |
schau dir doch mal die einzelnen Summanden [mm] s_{ij} [/mm] an. Die [mm] s_{ii} [/mm] sind sowieso reell (warum?). Was ist mit [mm] $s_{ij}+s_{ji}$... [/mm] ?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Di 27.01.2009 | | Autor: | laurel |
Also sieht dann die Summe so aus?:
[mm] \summe_{i,j=1}^{n}\overline {a_j_i} x_j \overline x_i=\overline{a_1_1} x_1 \overline{x_1}+\overline{a_2_2} x_2 \overline{x_2}+...+\overline{a_n_n} x_n \overline{x_n}\in \IR, [/mm] weil [mm] \overline{x_i}x_j\in \IR, [/mm] da [mm] x\overline{x}=a^2+b^2\in \IR, [/mm] und [mm] a_i_i \in \IR, [/mm] weil [mm] A\in [/mm] Mat(n, [mm] \IC) [/mm] hermitesch ist und die Hauptdiagonal der hermiteschen Matrizen aus reellen Einträgen besteht.
Ist das so richtig???
Danke Dir!!!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mi 28.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja so ganz richtig ist das noch nicht. Wir haben ja die Summe (ausführlich geschrieben) [mm] $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_i\overline{x_j}$$ [/mm] D.h. es wird über alle Paare [mm] $(i,j)\in\{1,2,...,n\}\times\{1,2,...,n\}$ [/mm] summiert.
Du hast gezeigt, dass die Summanden für $i=j$ reell sind, denn dann ist [mm] $x_i\overline{x_i}=|x_i|^2\in\IR$ [/mm] und auch [mm] $a_{ii}\in\IR$, [/mm] wie bereits richtig erkannt hast. Jetzt bleiben da aber auch noch ne ganze Menge Summanden übrig, die du noch nicht betrachtet hast, nämlich genau die, wo [mm] $i\ne [/mm] j$ ist. Die sind i.A. auch nicht reell, ABER wenn du die Summanden-Paare $(i,j)$ und $(j,i)$ immer zusammenfasst, müsstest du rausbekommen, dass deren Summe stets reell ist - und dann ist auch die ganze Summe reell.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 28.01.2009 | | Autor: | laurel |
Hi, Robert!!!
Ich glaube, ich hab es verstanden.
Wenn ich Summanden mit [mm] i\not= [/mm] j zusammen fasse, dann ergibt sich folgendes: x+iy+x-ij also die Imaginärtteile verschwienden und bleiben nur die Reellteile somit wird auch das Skalarprodukt auch reell.
Aber ich weiß noch nicht genau, ob z.B [mm] a_1_2 x_2 \overline{x_1}+a_2_1x_1\overline{x_2} [/mm] sich nur durch Vorzeichen vor dem Imaginärteil voneinander unterscheiden?
Danke!!
LG
|
|
|
| |
|
Hallo laurel,
> Hi, Robert!!!
> Ich glaube, ich hab es verstanden.
> Wenn ich Summanden mit [mm]i\not=[/mm] j zusammen fasse, dann
> ergibt sich folgendes: x+iy+x-ij also die Imaginärtteile
> verschwienden und bleiben nur die Reellteile somit wird
> auch das Skalarprodukt auch reell.
> Aber ich weiß noch nicht genau, ob z.B [mm]a_1_2 x_2 \overline{x_1}+a_2_1x_1\overline{x_2}[/mm]
> sich nur durch Vorzeichen vor dem Imaginärteil voneinander
> unterscheiden?
Rechne das am besten aus.
Wenn das Teil eines Skalarproduktes sein soll, dann muß das reell sein,
und das ist genau dann der Fall, wenn ...
> Danke!!
> LG
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mi 28.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> Aber ich weiß noch nicht genau, ob z.B [mm]a_1_2 x_2 \overline{x_1}+a_2_1x_1\overline{x_2}[/mm]
> sich nur durch Vorzeichen vor dem Imaginärteil voneinander unterscheiden?
Setzen wir [mm] $s_{ij}:=a_{ij}x_i\overline{x_j}$, [/mm] dann ist doch [mm] $s_{ji}=a_{ji}x_j\overline{x_i}=\overline{a_{ij}x_i}x_j=\overline{a_{ij}x_i\overline{x_j}}=\overline{s_{ij}}$. [/mm] Also ist [mm] $s_{ij}+s_{ji}=s_{ij}+\overline{s_{ij}}=2\operatorname{Re}s_{ij}\in\IR$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Mi 28.01.2009 | | Autor: | laurel |
Hi!!
Das letzte hab ich verstanden, aber wo ich immer noch Schwierigkeiten habe, ist die Stelle ganz am Anfang:
du meintest
[mm] (Ax)_i=\summe_{j=1}^{n}a_i_j x_{[red] j [/red]} [/mm] , dann sagst du
[mm] \Phi (Ax,x)=\summe_{i=1}^{n}(Ax)_i \overline{x_ {[red] i[/red]}} =\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}a_i_j x_i \overline{x_{[red]j [/red]}}
[/mm]
und so gehts dann weiter.
Warum kannst die Indezien so vertauschen?
Danke für deine Geduld!!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Do 29.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Habe mich einfach verrechnet. Es muss natürlich [mm] $$\Phi (Ax,x)=\summe_{i=1}^{n}(Ax)_i \overline{x_ i} =\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}a_{ij} x_j \overline{x_i}$$ [/mm] heißen. Das ändert aber, soweit ich das jetzt überblicke, nichts wesentliches an dem Lösungsweg... einfach ein paar i's und j's vertauschen 
Die Mehrzahl von Index heißt übrigens Indizes.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Do 29.01.2009 | | Autor: | laurel |
Vielen-vielen Dank, Robert, für deine Hilfe!!!
Auch für den Grammatikunterricht!! ;)))
LG
|
|
|
|
