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Hallo
Ich muss demnächst eine Lernleistung (Referat) in Mathe über komplexe Zahlen halten. Im Zusammenhang damit, würde mich sehr interessieren, was [mm]{z_1}^{z_2}[/mm] mit [mm]z_1;z_2 \in \IC [/mm] ist.
Ich habe bisher im Netz nur etwas über Komplexe Potenzen mit rationalen Exponenten gefunden.
Wäre echt toll wenn ihr mir antworten könntet!
Gruß Samuel
Auch ja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Di 05.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Samuel
Ich schreibe dir einfach einmal Etwas über die Exponentialfunktion und den Logarithmus.
Die reellen Funktionen [mm] $e^{x}*\cos{y}$ [/mm] und [mm] $e^{x}*\sin{y}$ [/mm] sind für alle reellen Werte $x$ und $y$ erklärt. Wir wollen sie als Real- und Imaginärteil einer komplexwertigen Funktion [mm] $e^{z}$ [/mm] ansehen, definieren also:
(1) [mm] $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}*(\cos{y}+i\sin{y})$.
[/mm]
Die Funktion [mm] $e^{z}$ [/mm] ist somit in der ganzen $z$-Ebene erklärt und genügt der Funktionalgleichung
[mm] $e^{z_{1}}*e^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}$,
[/mm]
denn es ist
[mm] $e^{z_{1}}*e^{z_{2}}=e^{x_{1}}*(\cos{y_{1}}+i\sin{y_{1}})*e^{x_{2}}*(\cos{y_{2}}+i\sin{y_{2}})=e^{x_{1}+x_{2}}* (\cos{(y_{1}+y_{2})}+i\sin{(y_{1}+y_{2}}))$.
[/mm]
Da [mm] $e^{z}$ [/mm] für $Im(z)=y=0$ gleich der reellen Exponentioafunktion [mm] $e^{x}$ [/mm] wird, kann [mm] $e^{z}$ [/mm] als eine Fortsetzung von [mm] $e^{x}$ [/mm] ins Komplexe angesehen werden. Insbesondere erhält man für $x=0$
[mm] $e^{iy}=\cos{y}+i\sin{y}$,
[/mm]
die bekannte Eulersche Formel als Spezialfall unserer diesmal weiterreichenden Definition.
Die trigonometrischen Funktionen in der Klammer von $(1)$ haben die Perione [mm] $2\pi$, [/mm] daher ist für $k=0, [mm] \pm 1,\pm [/mm] 2, ...$
[mm] $e^{z+2k\pi i}=e^{x+i(y+2k\pi)}=e^{x}*(\cos{(y+2k\pi)}+i\sin{(y+2k\pi)})=e^{x}(\cos{y}+i\sin{y})=e^{z}$
[/mm]
Das bedeutet: die Exponentialfunktion [mm] $e^{z}$ [/mm] besitzt die rein imaginäre Periode [mm] $2\pi [/mm] i$.
Dies hat eine bemerkenswerte Konsequenz für die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, den (natürlichen) Logarithmus.
Ist [mm] $z=\mid z\mid [/mm] * [mm] e^{i\arg z}=re^{i\varphi}$, [/mm] so ist offenbar zu definieren:
[mm] $\log [/mm] z = [mm] \ln \mid [/mm] z [mm] \mid [/mm] + i [mm] \arg [/mm] z = [mm] \ln [/mm] r + [mm] i\varphi$
[/mm]
(Den mehrdeutigen Logarithmus einer komplexen Zahl bezeichnen wir mit [mm] $\log$, [/mm] den eindeutigen Logarithmus einer reellen Zahl mit [mm] $\ln$)
[/mm]
damit umgekehrt
[mm] $z=e^{\log{z}}=e^{\ln r + i\varphi}=e^{\ln r}*e^{i\varphi}=re^{i\varphi}$
[/mm]
ist. Da nun aber
[mm] $z=\mid z\mid [/mm] * [mm] e^{i\varphi}=\mid z\mid [/mm] * [mm] e^{i(\varphi+2k\pi)}$ [/mm] gilt, ist auch
[mm] $\log [/mm] z = [mm] \ln{\mid z \mid} [/mm] + [mm] i(\arg [/mm] z + [mm] 2k\pi), [/mm] k=0, [mm] \pm 1,\pm [/mm] 2,...$
Der Komplexe Logarithmus besitzt unendlich viele Werte, die sich alle um ein Vielfaches von [mm] $2\pi [/mm] i$ unterscheiden.
Im Komplexen ist der Logarithmus eine mehrdeutige Funktion. Man kann sie eindeutig machen, indem man ihren Wertevorrat etwa durch die Bedingung [mm] $-\pi [/mm] < Im(z) [mm] \le \pi$ [/mm] einschränkt. Die so festgelegte Funktion heisst der Hauptwert von [mm] $\log [/mm] z$.
Beispiele:
Aus [mm] $-1=1*e^{\pi i}$ [/mm] folgt
[mm] $\log [/mm] (-1) = [mm] \ln [/mm] 1 + [mm] i(\pi [/mm] + [mm] 2k\pi)=(2k+1)\pi [/mm] i$
Der Hauptwert ist [mm] $\log [/mm] (-1) = [mm] \pi [/mm] i$.
Ebenso findet man
[mm] $\log [/mm] i = [mm] (2k+\bruch{1}{2})\pi [/mm] i$
[mm] $\log [/mm] (-i) = [mm] (2k-\bruch{1}{2})\pi [/mm] i$
Mit Hilfe der Exponentialfunktion kann man die allgemeine Potenz durch
[mm] $z_{2}^{z_{1}}=e^{z_{1}\log{z_{2}}}$
[/mm]
erklären.
Ist [mm] $z_{1}=m$ [/mm] eine reelle ganze Zahl, so ist [mm] $z_{2}^{m}$ [/mm] eindeutig.
Ist [mm] $z_{1}=\bruch{p}{q}$, [/mm] $q>0$ eine reelle rationale Zahl, so hat die allgemeine Potenz [mm] $z_{2}^{p/q}$ [/mm] die $q$ verschiedenen Zweige [mm] $e^{(p/q)(\ln \mid z_{2}\mid+i\arg{z_{2}})}e^{(p/q)2k\pi i}, [/mm] k=0,1,2,...,q-1$.
Ist dagegen [mm] $z_{1}$ [/mm] eine reelle irrationale Zahl oder eine komplexe Zahl, so hat [mm] $z_{2}^{z_{1}}$ [/mm] unendlich viele verschiedene Zweige.
Für die allgemeine Potenz gelten nun die aus dem Reellen bekannten Rechenregeln
[mm] $z_{3}^{z_{1}}*z_{3}^{z_{2}}=z_{3}^{z_{1}+z_{2}}$
[/mm]
und
[mm] $(z_{3}^{z_{1}})^{z_{3}}=z_{3}^{z_{1}z_{2}}$
[/mm]
nicht mehr. Denn in beiden Gleichungen stellt die linke Seite mehr Werte dar als die rechte.
Man bezeichnet als Hauptwert von [mm] $z_{2}^{z_{1}}$ [/mm] denjenigen der Werte [mm] $e^{z_{1}\log{z_{2}}}$, [/mm] den man erhält, wenn man für [mm] $\log{z_{2}}$ [/mm] dessen Hauptwert nimmt.
Beispiel:
Die Potenz [mm] $i^{i}$ [/mm] hat die unendlich vielen reellen Werte
[mm] $e^{i \log{i}}=e^{i(\bruch{\pi i}{2}+2k\pi i)}=e^{-\bruch{\pi}{2}-2k\pi} (k=0,\pm 1,\pm [/mm] 2,...)$
Der Hauptwert ist [mm] $e^{-\bruch{\pi}{2}}$
[/mm]
So, ich hoffe, dass du damit Etwas anfangen kannst.
Wenn du noch mehr brauchst, dann meldest du dich einfach wieder, wie üblich!
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hi Teletubyyy,
du kannst ja die Keule im Sack lassen und das mit den Potenzen für ausgewählte Werte vorexerzieren, z.B. für
[mm]i^i=e^{i\cdot\log(i)}[/mm]
Da [mm]i[/mm] ja eigentlich [mm]e^{i\frac{\pi}{2}}[/mm] ist, vereinfacht sich der Ausdruck zu
[mm]i^i=e^{i\cdot\log(e^{i\frac{\pi}{2}})}=e^{i\cdot i\frac{\pi}{2}}[/mm]
Also ist [mm]i^i=e^-\frac{pi}{2}\approx0,2[/mm].
Das ist doch ein nettes Beispiel, wenn [mm]i^i[/mm] wieder eine reelle Zahl ergibt.
Wenn du willst, kannst du ja mal nachrechnen, was [mm](-i)^{(-i)}[/mm] ist...
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!!!
