matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenkomplexe ZahlenKomplexe Ordnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "komplexe Zahlen" - Komplexe Ordnung
Komplexe Ordnung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Komplexe Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 Sa 04.06.2011
Autor: Valerie20

Aufgabe
[mm] z_{1} [/mm] <c [mm] z_{2} [/mm] : [mm] \gdw |z_{1}| [/mm] <c [mm] |z_{2}| [/mm]

Diese Ordnung wird auf [mm] \IC [/mm] definiert.

Welche der Ordnungsaxiome für den geordneten Körper sind verletzt? Geben Sie für die verletzten Ordnungsaxiome ein Gegenbeispiel an.


Hallo!

Hab hier gleich zu Anfang ein Problem:
Wann ist denn eine komplexe Zahl kleiner bzw. größer als eine andere?
Gibt es dazu eine allgemeingültige Definition?

gruß

        
Bezug
Komplexe Ordnung: Euklidischer Abstand
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Sa 04.06.2011
Autor: Infinit

Hallo,
hierfür nutzt man den euklidischen Abstand, zu
[mm] c = a + ib [/mm] gehört der Betrag
[mm] |c| = \wurzel{a^2 + b^2} [/mm]
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                
Bezug
Komplexe Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 So 05.06.2011
Autor: Valerie20


> Hallo,
> hierfür nutzt man den euklidischen Abstand, zu
> [mm]c = a + ib[/mm] gehört der Betrag
>  [mm]|c| = \wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
>  Viele Grüße,
> Infinit
>  

Hallo Infinit!

Hmm, aber wie soll ich dann die Aufgabenstellung verstehen?
Es muss ja entweder belegt bzw. widerlegt werden, das eines der Ordnungsaxiome gilt bzw. nicht gilt. Für letzteren Fall soll ja ein Gegenbeispiel gefunden werden.
Wenn ich hier nur nach dem Betrag gehen würde, würden ja alle Axiome passen.

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 05.06.2011
Autor: Fulla

Hallo Valerie20,

> > Hallo,
> > hierfür nutzt man den euklidischen Abstand, zu
> > [mm]c = a + ib[/mm] gehört der Betrag
>  >  [mm]|c| = \wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
>  >  Viele Grüße,
> > Infinit
>  >  
>
> Hallo Infinit!
>  
> Hmm, aber wie soll ich dann die Aufgabenstellung
> verstehen?
>  Es muss ja entweder belegt bzw. widerlegt werden, das
> eines der Ordnungsaxiome gilt bzw. nicht gilt. Für
> letzteren Fall soll ja ein Gegenbeispiel gefunden werden.
>  Wenn ich hier nur nach dem Betrag gehen würde, würden ja
> alle Axiome passen.

Wirklich?

> Ordnungsaxiome
>  
> Es gilt genau eine der drei Beziehungen
>  a < b, a = b, b < a
>  (A11) Aus a < b und b < c folgt a < c.
>  (A12) Aus a < b folgt a + c < b + c.
>  (A13) Aus a < b und 0 < c folgt ac < bc.

Bei (A11) und (A13) wirst du keine Probleme haben. Schau dir aber mal (A12) genauer an:
[mm]|z_1|<|z_2| \Rightarrow |z_1+z_3|<|z_2+z_3|[/mm]
Gilt das wirklich für jedes [mm]z_3[/mm]? Mach dir mal eine Skizze mit zwei beliegiben [mm]z_1[/mm], [mm]z_2[/mm] (mit [mm]|z_1|<|z_2|[/mm]) und versuche ein [mm]z_3[/mm] zu finden, für das gilt [mm]|z_1+z_3|>|z_2+z_3|[/mm].

Lieben Gruß,
Fulla



Bezug
                                
Bezug
Komplexe Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 So 05.06.2011
Autor: Valerie20

Hi Fulla!


> Hallo Valerie20,
>  
> > > Hallo,
> > > hierfür nutzt man den euklidischen Abstand, zu
> > > [mm]c = a + ib[/mm] gehört der Betrag
>  >  >  [mm]|c| = \wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
>  >  >  Viele Grüße,
> > > Infinit
>  >  >  
> >
> > Hallo Infinit!
>  >  
> > Hmm, aber wie soll ich dann die Aufgabenstellung
> > verstehen?
>  >  Es muss ja entweder belegt bzw. widerlegt werden, das
> > eines der Ordnungsaxiome gilt bzw. nicht gilt. Für
> > letzteren Fall soll ja ein Gegenbeispiel gefunden werden.
>  >  Wenn ich hier nur nach dem Betrag gehen würde, würden
> ja
> > alle Axiome passen.
>  
> Wirklich?
>  
> > Ordnungsaxiome
>  >  
> > Es gilt genau eine der drei Beziehungen
>  >  a < b, a = b, b < a
>  >  (A11) Aus a < b und b < c folgt a < c.
>  >  (A12) Aus a < b folgt a + c < b + c.
>  >  (A13) Aus a < b und 0 < c folgt ac < bc.
>  
> Bei (A11) und (A13) wirst du keine Probleme haben. Schau
> dir aber mal (A12) genauer an:
>  [mm]|z_1|<|z_2| \Rightarrow |z_1+z_3|<|z_2+z_3|[/mm]
>  Gilt das

Ich dachte die ganze Zeit ich muss (A12) wie folgt formulieren:
[mm] |z_{1}| +|z_{3}| [/mm] < [mm] |z_{2}| [/mm] + [mm] |z_{3}| [/mm]

> wirklich für jedes [mm]z_3[/mm]? Mach dir mal eine Skizze mit zwei
> beliegiben [mm]z_1[/mm], [mm]z_2[/mm] (mit [mm]|z_1|<|z_2|[/mm]) und versuche ein [mm]z_3[/mm]
> zu finden, für das gilt [mm]|z_1+z_3|>|z_2+z_3|[/mm].

[mm] z_{1}=1+2j [/mm]
[mm] z_{2}=4-3j [/mm]
[mm] z_{3}=-1+3j [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] |1+2j-1+3j| < |4-3j-1+3j|
                   | 5j|              < |3|
Das ist natürlich falsch und wäre somit ein Gegenbeispiel.
Danke schonmal für den Tipp Fulla!

Steckt da ein System dahinter ( sowas wie: alle komplexen Zahlen -90°  von der kleineren komplexen zahl erfüllen die Bedingung) oder muss man sich da immer eine beliebige Zahl aussuchen für die es gerade gilt?

>  
> Lieben Gruß,
>  Fulla
>  
>  

gruß

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 So 05.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Steckt da ein System dahinter ( sowas wie: alle komplexen
> Zahlen -90°  von der kleineren komplexen zahl erfüllen
> die Bedingung) oder muss man sich da immer eine beliebige
> Zahl aussuchen für die es gerade gilt?

Mach dir anschaulich klar, was die definierte Ordnungsrelation bedeutet: $|z|$ ist in der komplexen Zahlenebene der Abstand der Zahl z von Nullpunkt. Die Zahlen werden also anhand ihres Abstandes von der 0 angeordnet.

Andererseits bedeutet das Axiom (A12) für den Fall komplexer Zahlen: wenn ich die Zahlen a und b beide um die gleiche Zahl c verschiebe, dann darf sich an der Ordnung nichts ändern.

Was passiert aber beim Verschieben mit dem Abstand von der 0?

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                                                
Bezug
Komplexe Ordnung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:18 Mo 06.06.2011
Autor: Valerie20

Hallo Rainer!

> Hallo!
>  
> > Steckt da ein System dahinter ( sowas wie: alle komplexen
> > Zahlen -90°  von der kleineren komplexen zahl erfüllen
> > die Bedingung) oder muss man sich da immer eine beliebige
> > Zahl aussuchen für die es gerade gilt?
>  
> Mach dir anschaulich klar, was die definierte
> Ordnungsrelation bedeutet: [mm]|z|[/mm] ist in der komplexen
> Zahlenebene der Abstand der Zahl z von Nullpunkt. Die
> Zahlen werden also anhand ihres Abstandes von der 0
> angeordnet.
>
> Andererseits bedeutet das Axiom (A12) für den Fall
> komplexer Zahlen: wenn ich die Zahlen a und b beide um die
> gleiche Zahl c verschiebe, dann darf sich an der Ordnung
> nichts ändern.
>  
> Was passiert aber beim Verschieben mit dem Abstand von der
> 0?

Ich erhalte ein parallelogramm mit den Seitenlängen [mm] |z_{1}| [/mm] und [mm] |z_{2}| [/mm]
Die Summe aus beiden entspricht dann meinem neuen Betrag. Also die Diagonale f bzw. e im parallelogramm.

[mm] \Rightarrow [/mm] Umso näher [mm] z_{1} [/mm] bei [mm] z_{2} [/mm] liegt, desto größer ist der Betrag der Summe aus beiden komplexen Zahlen [mm] z_{3}. [/mm]
Am größten natürlich, falls [mm] z_{1} [/mm] = [mm] z_{2}. [/mm]

Kann man das nun durch eine Formel ausdrücken? Sodass man sofort weis in welchem Winkelbereich gilt, dass :

[mm] |z_{1}+z_{3}| [/mm] < [mm] |z_{2}+z_{3}| [/mm]

bzw.:

[mm] |z_{1}+z_{3}| [/mm] > [mm] |z_{2}+z_{3}| [/mm]




>  
> Viele Grüße
>     Rainer
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Mo 06.06.2011
Autor: fred97

Nimm mal [mm] z_1=i [/mm]  und [mm] z_2=2, [/mm] dann ist

             [mm] $|z_1|<|z_2|$ [/mm]

Nun finde mal ein konkretes c [mm] \in \IC [/mm] mit

              [mm] $|z_1+c| \ge |z_2+c|$ [/mm]

Damit ist (A 12) verletzt.

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Komplexe Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:34 Mo 06.06.2011
Autor: Valerie20

Hallo Fred!

> Nimm mal [mm]z_1=i[/mm]  und [mm]z_2=2,[/mm] dann ist
>  
> [mm]|z_1|<|z_2|[/mm]
>  
> Nun finde mal ein konkretes c [mm]\in \IC[/mm] mit
>  
> [mm]|z_1+c| \ge |z_2+c|[/mm]
>  
> Damit ist (A 12) verletzt.

c=-2



>  
> FRED


Bezug
                                                                        
Bezug
Komplexe Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Mo 06.06.2011
Autor: fred97


> Hallo Fred!
>  
> > Nimm mal [mm]z_1=i[/mm]  und [mm]z_2=2,[/mm] dann ist
>  >  
> > [mm]|z_1|<|z_2|[/mm]
>  >  
> > Nun finde mal ein konkretes c [mm]\in \IC[/mm] mit
>  >  
> > [mm]|z_1+c| \ge |z_2+c|[/mm]
>  >  
> > Damit ist (A 12) verletzt.
>  
> c=-2

Bingo !

FRED

>  
>
>
> >  

> > FRED
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Ordnung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Mi 08.06.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]